Задача 17

Сначала поясним термин, который встречается в условии:

Человеко-час

Вот что написано по этому поводу в Википедии:

"Человеко-час — единица учёта рабочего времени, соответствует часу работы одного человека. Иногда удобно оценить работу через количество человеко-часов для её выполнения, что позволяет при планировании более точно сопоставлять количество работников и сроки выполнения задания.

Суммарные человеко-часы являются результатом умножения количества работников на время, потраченное на работу. То есть 40 человеко-часов формируют 1 человек, работающий 40 часов, или 2 человека, работающие 20 часов, или 4 человека, работающие 10 часов и т. д."

Иногда при решении задачи удобно найти, сколько человеко-часов требуется для изготовления единицы продукции. Например, если в условии сказано, что один рабочий делает за час две детали, следовательно, на изготовление одной детали требуется человеко-часа.

 

Так как в каждой области имеем по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки, получаем 500 человеко-часов в сутки в каждой области.

Пусть в первой области добывается кг алюминия и кг никеля в сутки. Во второй области, соответственно кг алюминия и  кг никеля в сутки.

В первой области один рабочий за час добывает

- 0,2 кг алюминия, следовательно, на изготовление 1 кг алюминия требуется 5 человеко-часов, и на добычу  кг алюминия  человеко-часов,

или

- 0,1 кг никеля, следовательно, на изготовление 1 кг никеля требуется 10 человеко-часов, и на добычу  кг никеля  человеко-часов.

Так как за сутки вырабатывается всего 500 человеко-часов, получаем первое уравнение:

   

Во второй области на изготовление  кг алюминия требуется  человеко-часов, и на изготовление   кг никеля требуется  человеко-часов.

Так как за сутки вырабатывается всего 500 человеко-часов, получаем второе уравнение:

   

Всего в обоих областях добывается кг алюминия и кг никеля.

По условию в сплаве на на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля, следовательно, никеля должно быть в два раза больше, чем алюминия. Получаем третье уравнение:

   

В итоге масса полученного сплава равна суммарной массе добытых металлов:

, или, учитывая последнее уравнение,

Получили систему:

   

Выразим все переменные через одну, например, через .

Из первого уравнения: .

Из второго уравнения: . (Сразу заметим, что .)

Подставим в третье уравнение:

Подставим выражение для в четвертое уравнение системы и получим функциональную зависимость массы сплава от  переменной :

, где .

Найдем максимальное значение функции   на отрезке [].

Найдем производную и приравняем ее к нулю.

На отрезке [] производная равна нулю при . Легко проверить, что слева от  производная положительна, а справа отрицательна, следовательно функция имеет на отрезке [] единственный максимум в точке , следовательно, в точке  функция  принимает наибольшее значение.

Найдем его.

Ответ: 90.

В каждой области рабочие в сутки вырабатывают человеко-часов.

По условию 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. В первой области один рабочий добывает за час 0,1 кг алюминия или 0,2 кг никеля, то есть никель добывать выгоднее. Тогда в первой области  40 рабочих за сутки добудут кг никеля.

Пусть во второй области в сутки добывают  кг  алюминия и  кг  никеля. Тогда при условии (1) нужно найти наибольшее значение суммы .

Из уравнения (1) выразим : .

Получим функцию зависимости массы металлов, добытых во второй области от : на отрезке .

Приравняем производную у нулю:

Промежутку  принадлежит точка . Докажем, что - точка максимума функции . Слева от точки  (например, в точке ) .

Справа от точки  (например, в точке ) , следовательно,  - точка максимума функции .

Найдем 

В итоге, суммарная добыча металлов в в двух областях составит кг.

Ответ: 60.

Пусть на первом комбинате за смену изготавливается деталей А и деталей В. На втором комбинате, соответственно деталей А и  деталей В.

В каждую смену отрабатывается 200 человеко-смен.

Получим систему уравнений:

   

Из первого уравнения , из второго:

Подставим в третье уравнение:

Тогда

Найдем наибольшее значение функции на отрезке

Приравняем производную к нулю:

Нетрудно убедиться, что слева от точки  производная положительна, а справа - отрицательна. Следовательно, точка  - точка максимума функции

на отрезке 

НО! Величины  могут принимать только натуральные значения.

То есть наиболее близкие к точке максимума числа 13 и 14.

Рассмотрим :

Проверяем : . Мы получим наибольшее целое , если . Тогда

Если :

Ответ: 161.

Рассмотрим другое решение.

Решим в целых числах уравнение .

Возможны варианты:

; ;

Найдем для каждой пары значения и :

:

Получили тот же ответ: 161.

Сначала посчитаем, какую прибыль приносит 1 кв. м номера каждого типа.

Стандартный номер имеет площадь 21 кв. м и приносит отелю 2000 руб в сутки, следовательно, 1 кв. м этого номера приносит отелю руб. в сутки.

Стандартный номер имеет площадь 49 кв. м и приносит отелю 5000 руб в сутки, следовательно, 1 кв. м этого номера приносит отелю руб. в сутки.

Очевидно, что "удой" с каждого квадратного метра номера "люкс" выше, чем с квадратного метра стандартного номера. То есть для предпринимателя выгоднее отвести под номера "люкс" максимальную площадь. Однако, он не может распределить площадь под номера произвольным образом - площадь, отведенная под стандартные номера должна быть кратна площади одного номера, то есть числу 21, а площадь, отведенная под номера "люкс" должна быть кратна числу 49.

Подберем соответствующее количество номеров. Предприниматель не может отвести всю площадь под номера "люкс", так как 630 не делится на 49.

Пусть предприниматель запланировал 1 стандартный номер. Тогда под номера "люкс" останется 630-21=609. 609 не делится на 49.

Пусть предприниматель запланировал 2 стандартных номера. Тогда под номера "люкс" останется 630-42=588. 588  делится на 49. 588:49=12

 

Итак, предприниматель получит максимальную сумму денег,  если запланирует 2 стандартных номера и 12 номеров люкс.

И эта сумма равна:

Ответ: 64 000.

Заметим, что в этой задаче все так прекрасно устроилось, так как оказалось возможным решить в целых числах уравнение , где - количество стандартных номеров, и   - количество номеров "люкс".

Если мы вместо числа 630 возьмем, например, число 653 ( как предлагается в сборнике ЕГЭ 2016, Математика, 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2, (Ященко И.В., Волчкевич М. А., Высоцкий И.Р.), то легко убедиться, что уравнение  не имеет решений в целых числах. Тогда, видимо, предприниматель не может отвести всю площадь без остатка под номера. И у него должна остаться "кладовочка".

Найдем, какую наибольшую сумму получит предприниматель в этом случае.

Пусть предприниматель всю площадь отведет под номера "люкс". Тогда у него получится 13 номеров и останутся неиспользованными 16 кв. м. (653:49=13(16)) Доход в этом случае составит руб.

Пусть предприниматель запланировал 1 стандартный номер. Тогда под номера "люкс" останется 653-21=632 м. 632:49=12(2). То есть можно будет спроектировать 12 номеров "люкс", останутся неиспользованными кв. м. На этой площади можно разместить еще два стандартных номера, и останутся неиспользованными 2 кв. м. Доход в этом случае составит руб.

Дальше при увеличении числа стандарных номеров доход будет уменьшаться.

Ответ: 66 000.

Презентации Галины Медведевой