Задание 18
Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
Решение. показать
Будем решать графическим способом.
Построим график первого уравнения: 
Раскроем модуль:
- это полуплоскость, которая находится выше прямой 
.
В этой области раскрываем модуль с тем же знаком:
Нас интересует часть параболы, лежащая выше прямой 
:
2) 
- это полуплоскость, которая находится ниже прямой .
В этой области раскрываем модуль с противоположным знаком:
Нас интересует часть параболы , расположенная ниже прямой :
Итак, график первого уравнения системы имеет вид:
Второе уравнение системы: 
.
График уравнения 
представляет семейство прямых с переменным коэффициентом наклона, проходящих через точку с координатами (0;-3).
Нас интересует, при каких значениях параметра график функции имеет единственную точку пересечения с графиком уравнения .
Очевидно, что это происходит в том случае, если график функции касается графика уравнения :
Составим уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку с координатами (0;-3).
Пусть абсцисса точки касания 
Тогда уравнение касательной имеет вид:
Здесь:
После упрощения получим 
, 
Нас интересует значение 
Тогда 
Уравнение касательной имеет вид: 
Отсюда 
.
Строго говоря, нас интересовал только коэффициент наклона касательной. Коэффициент наклона касательной равне производной функции в точке касания.
Составим уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку с координатами (0;-3).
Здесь:
После упрощения получим: 
Нас устраивает 
Тогда 
Ответ: 
И.В. Фельдман, репетитор по математике
Инна Владимировна, здравствуйте! Ваше решение показывает еще один подход к нахождению параметра через составление уравнения касательной. На мой взгляд, проще составить уравнение и найти параметр при котором дискриминант уравнения будет равен нулю.СПАСИБО!
Лидия, спасибо за замечание. Да, я хотела показать подход к нахождению параметра через уравнение касательной. Технически это не сложнее, чем находить дискриминант и приравнивать его к нулю.
Инна Владимировна, это НЕ замечание, а суждение…
Лидия, слову «замечание» я придаю исключительно положительный смысл — это про то, что вы заметили) И за это вам большое спасибо)))
Инна, посмотрите еще раз парабола построена с ошибкой. Первый рисунок.
Спасибо! Построена верно, уравнение записано не верно.
Нет, извините, я перенесла 4 с плюсом. У меня ошибка!