(задача из т/р А. Ларина №159)
Решение.
Внимательно читаем задачу: квадратом является одна из боковых граней контейнера (не дно!). Пусть длина ребер квадратной грани равна 
, а длина ребер, перпендикулярных квадратной грани равна 
:
Объем контейнера равен 
м
.
Сумма длин всех ребер равна 
, следовательно, стоимость всех уголков равна 
рублей.
Суммарная площадь боковых стенок и пола контейнера равна 
м
, следовательно, стоимость фанеры на их изготовление составит 
рублей.
Отсюда получим стоимость всех расходов: 
рублей.
Так как , можем выразить, например, через :
Теперь можем получить функцию зависимости расходов на материалы от :
Найдем, при каких положительных значениях функция 
принимает наименьшее значение.
Найдем производную:
Найдем нули производной:
Так как 
, можем умножить обе части уравнения на 
:
Первый корень найдем подбором. Числа 1 и -1 не являются корнями, проверим число 2.
- верно.
Разделим многочлен 
на 
:
Мы получили 
Найдем нули многочлена 
Найти корень подбором не удается, поэтому найдем хотя бы число корней уравнения 
Исследуем функцию 
на монотонность.
. Рассмотрим квадратный трехчлен 
: 
, следовательно, 
при любом действительном значении и функция возрастает.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень, причем, поскольку все коэффициенты многочлена положительны, этот корень отрицателен.
Пусть 
- корень уравнения .
Тогда и 2 - нули производной исследуемой функции .
Найдем промежутки монотонности функции 
:
Итак, 
- точка минимума функции , следовательно, при расходы на материалы для контейнера минимальны.
Тогда 
То есть минимальная стоимость материалов 
рублей если размеры контейнера 
м.
Ответ: , .
в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из боковых граней которого - квадрат, требуются уголки по длине всех ребер (12 ребер) и фанера на боковые стенки и пол. Цена уголков - 10 руб. за погонный метр, цена фанеры - 40 руб. за квадратный метр. Каковы должны быть размеры контейнера, чтобы расходы на материал были минимальными? Сколько рублей при этом составят расходы?
Так как a>0. то после того, как производная разложена на множители, ясно, что она отрицательна при 0<a2, т.е. 2-искомый минимум. (Не имеет значения, сколько там еще отрицательных корней.)
Было введено: … «отрицательна при 0<a2, т.е.»…
Вижу, что этот кусок куда-то пропал.
Поняла, пропадает кусок в тегах. Не знаю, как написать, что при а от 0 до 2 производная отрицательна, а при a большем 2 — положительна, «т.е. 2-искомый минимум.»
Я поняла. А если был еще корень производной, больший 2?
У многочлена, все коэффициенты которого положительны?
да
?
Большое спасибо, Инна! Я как раз искала нового типа задачу на оптимизацию. Ваша заметка очень кстати.