Задача по стереометрии. ДВИ МГУ 2016

Сделаем чертеж. По условию плоскость параллельна ребру . Следовательно, она пересекает основание призмы по прямой, параллельной ребру . Проведем через точку отрезок .

В грани проведем высоту (медиану) . Опустим из точки , середины отрезка , перпендикуляр на .

Докажем, что отрезок перпендикулярен плоскости .

Отрезок  проецируется на прямую , которая перпендикулярна   , следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, , кроме того по построению, следовательно, отрезок перпендикулярен плоскости .

Плоскость, содержащая прямую  будет перпендикулярна плоскости .

Плоскость пересекает плоскость по прямой, параллельной ребру , . Проведем через точку  отрезок .

Осталось найти сечение пирамиды плоскостью , содержащее отрезки , , .

Точка - точка пересечения высот  и треугольника , она принадлежит плоскости сечения. Проведем через точку  отрезок ( ). Точки и - недостающие врешины сечения:

Вы можете отследить по шагам построение сечения, а также повращать пирамиду и исследовать ее с разных ракурсов:

Пусть угол между боковыми гранями пирамиды и плоскостью основания равен . Найдем, при каких значениях  выполняется условие .

Так как    и по условию , . Стороны шестиугольника в основании пирамиды равны 14, отсюда :

, если  

Рассмотрим подобные треугольники  и . . (1)

Тогда .

Теперь сделаем выносной чертеж:

Из треугольника : .

Из треугольника : .

Тогда , отсюда , 

Осталось найти площадь треугольника .

.

По теореме Фалеса:

(2)

Рассмотрим грань :

Из прямоугольного треугольника

(из (2))

(из (1))

Отсюда

По теореме о соотношении площадей треугольников, имеющих равный угол, получим:

Отсюда .

Ответ: 50