Репетитор по математике

Чтобы найти, при каких значениях переменных выражение достигает минимума часто используют известные неравенства. В частности, неравенство Коши.

В упрощенной формулировке неравенство Коши формулируется так:

если , , то .

При этом неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда .

То есть мы можем ограничить снизу сумму двух неотрицательных выражений:

.

В общей форме неравенство Коши формулируется следующим образом:  если , где , то

причем неравенство превращается в равенство, если .

Таким образом, мы можем ограничить снизу выражение :

Воспользуемся неравенством Коши в общей форме.

В нашем выражении, поскольку переменные  принадлежат промежутку  , .

Введем замену: .

Получим выражение:

Заметим, что произведение

Если мы попытаемся оценить каждую скобку с помощью неравенства Коши в формулировке , то получим:

;

В этом случае получаем такую оценку: 

В правой части неравенства мы не смогли получить число.

Значит, нам надо сделать так, чтобы в правой части неравенства переменные и   были в одинаковой степени. Ориентируясь на первый множитель , постараемся сделать так, чтобы переменные и были под знаком квадратного корня.  Исходя из формулировки   неравенства Коши, для этого во второй скобке должно быть 4 слагаемых, а в третьей - 8 слагаемых. При этом нижняя граница достигается в том случае, если все слагаемые равны между собой.

С первым слагаемым  в каждой скобке мы ничего сделать не можем, а вот единицу мы можем легко разбить на нужное число равных слагаемых.

Получим:

Ограничим снизу каждый множитель:

Теперь  и в одинаковой степени, и если мы перемножим неравенства , то в правой части получим число, которое ограничивает произведение снизу. Однако нам не важно значение этой нижней границы. Нам важно, при каких значениях переменных  и она достигается. Она достигается, если

Вернемся к исходным переменным:

Осталось решить эту систему.

Из второго уравнения системы получаем 

Отсюда

Из третьего уравнения получаем .

Отсюда  

Подставляем и равенства:

Так как по условию , делим обе части уравнения на ;

Правая часть уравнения больше нуля, можем возвести обе части в квадрат.

,

, отсюда с учетом того, что , получаем

Далее: ; .

Отсюда, с учетом того, что , получаем

.

Заметим, что эти значения удовлетворяют второму уравнению системы.

Ответ: ; .

Расстояние между числами и равно  . То есть нам нужно сравнить  и .

Сравним числа и

Приведем дроби к общему знаменателю.

Следовательно,  и число  ближе к 2, чем  .

Разность между корнями квадратного уравнения можно понимать как расстояние между ними на числовой прямой.

То есть нам нужно найти, при каком значении параметра расстояние между корнями квадратного уравнения максимально.

Расстояние между корнями квадратного уравнения равно .

Для нашего уравнения 

Так как функция - возрастающая, функция принимает максимальное значение в той же точке, в которой принимает максимальное значение подкоренное выражение.

Рассмотрим функцию  и исследуем ее на максимум - минимум.

Приравняем производную к нулю и исследуем знаки:

;

Мы видим, что функция имеет максимум при .

Ответ: .

Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму:

Получим:

Отсюда получаем:

или 

или 

или , .

Ответ:

Заметим, что неравенство содержит сопряженные выражения: и .

В этом случае, воспользовавшись формулой разности квадратов, можно одно выражение выразить через другое:

, отсюда

Тогда получим:

Так как , при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется. Получаем:

Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю.

Легко проверить, что , отсюда . Умножим обе части неравенства на это выражение, не забыв изменить знак неравенства:

Введем замену:

Получим неравенство относительно переменной :

Корни числителя:

Корень знаменателя: .

Нанесем корни на числовую ось и расставим знаки:

Отсюда или .

Вернемся к исходной переменной:

;

или

Ответ: U

Уравнения системы имеют сходную структуру. Сделаем некоторые преобразования.

Умножим обе части каждого уравнения на , получим:

Сложим уравнения системы и разложим обе части на множители, получим:

(1)

Вычтем из первого уравнения системы второе, получим:

(2)

Получим систему:

(3)

Умножим уравнение (1) на уравнение (2), получим:

, поэтому

Отсюда

Подставим значение  в систему (3), получим

Умножим оба уравнения на 2:

Разделим первое уравнение на , а затем в правой части получившегося уравнения исключим иррациональность из знаменателя.

Аналогично, разделим второе уравнение на , а затем в правой части получившегося уравнения исключим иррациональность из знаменателя. Получим:

Сложим уравнения системы, получим . Отсюда 

Вычтем из первого уравнения второе, получим

.

Отсюда

Ответ: