Решим задачу по планиметрии из тренировочной работы № 176 А. Ларина.
А) Основание 
треугольника 
- общая касательная к окружностям с центрами в точках 
и 
, поэтому 
(1).
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. 
и 
- биссектрисы смежных углов, угол между которыми равен 
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
. 
- высота этого треугольника (из (1)).
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе является средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу: 
- диаметр первой окружности,
- диаметр второй окружности.
Утверждение доказано.
Б) Пусть продолжение стороны 
касается второй окружности в точке 
. И пусть радиус второй окружности равен 
.
Рассмотрим треугольники 
и 
. Эти прямоугольные треугольники имеют общий угол, следовательно, они подобны по двум углам.
(2)
, 
, 
Подставим в (2), получим:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Раскроем скобки, перенесем все в одну сторону и приведем подобные члены. Получим:
Отсюда 
, 
- не подходит по смыслу задачи.
Ответ:
, касается основания 
в точке 
. Вторая окружность касается основания 
, а 
.
Инна, спасибо! Интересная задача!
задача 16 №176 можно значительно проще . Или я ошибаюсь? Ответ12