Задание 14. Точки 
и 
- середины ребер 
и 
куба 
соответственно.
Докажем перпендикулярность прямых 
и 
с помощью метода координат. Введем систему координат и докажем перпендикулярность векторов 
и 
.
Вектора и - направляющие вектора прямых и . Если направляющие вектора прямых перпендикулярны, то перпендикулярны и сами прямые.
Пусть сторона куба равна 
. Запишем координаты точек:
Теперь найдем координаты векторов и (чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора вычитаем координаты начала):
Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Найдем скалярное произведение векторов и . Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.
Итак, 
, следовательно, 
, отсюда 
б) Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точку и перпендикулярной прямой 
.
Прямая перпендикулярна плоскости, если он перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Проведем в грани 
прямую 
, перпендикулярную . Поскольку 
(из доказанного) и 
(по построению), перпендикулярна плоскости, содержащей прямые 
и .
Проведем эту плоскость:
Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения плоскостей параллельны. Так как основания куба параллельны, 
. Следовательно, точка 
- середина ребра 
.
, 
, следовательно, четырехугольник 
- параллелограмм.
Докажем, что четырехугольник - прямоугольник.
Ребро 
перпендикулярно грани , следовательно, перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой грани, в частности, прямой . То есть 
. Следовательно, сечение - прямоугольник.
Найдем площадь сечения.
По условию, ребро куба равно 4.
Тогда по теореме Пифагора из треугольника 
Отсюда 
Ответ: 
и 
- середины ребер 
и 
куба 
соответственно.
и 
перпендикулярны.
, если ребро куба равно 
.
Добавить комментарий