Задание 18 из реального ЕГЭ по математике 01.06.2018

 

Будем решать задачу графически.

Первое уравнение: произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.

То есть первое уравнение равносильно совокупности:

   

Нам удобно выразить через :

   

Или так:

   

В итоге получаем систему:

   

График первого уравнения совокупности представляет собой семейство прямых с переменным коэффициентом наклона, которые проходят через точку с координатами .

График второго уравнения совокупности представляет собой семейство прямых с переменным коэффициентом наклона, которые проходят через точку с координатами .

График третьего уравнения представляет собой окружность с центром в начале координат, радиус которой равен 4.

Система имеет ровно четыре решения, если каждая прямая совокупности имеет с окружностью две общие точки.

Изобразим графики всех уравнений на координатной плоскости. Так как мы решили выразить через , вертикальная ось будет ось , а горизонтальная - ось .

Рассмотрим семейство прямых . (1)

Прямые семейства имеют две точки пересечения с окружностью, если расположены в голубой области. Эта область ограничена касательными к окружности, проведенными из точки .

То есть если коэффициент наклона должен быть больше чем   или меньше чем :

или .

Найдем  и .

Из соображения симметрии  ясно, что  .

Рассмотрим прямоугольный треугольник .  - радиус, проведенный к точке касания.

, отсюда

Следовательно, ; .

Отсюда  или .

или  (3)

Рассмотрим семейство прямых . (2)

Прямые семейства имеют две точки пересечения с окружностью, если расположены в зеленой области. Эта область ограничена касательными к окружности, проведенными из точки .

 

То есть коэффициент наклона прямых должен быть больше чем   или меньше чем :

или .

Чтобы найти и рассмотрим прямоугольный треугольник .  - радиус, проведенный к точке касания.

 

Отсюда ; .

Тогда .

Следовательно,  или .

Отсюда получаем:  или . (4)

Кроме того, важно заметить, что семейства прямых (1) и (2) имеют общую прямую, которая проходит через точки и . Уравнение этой прямой :

Значит, если коэффициент наклона равен -1, то система имеет два решения, и этот случай нам не подходит.  Отсюда:

. (5)

Подытожим:

   

 

Ответ: UU