Доказательство периодичности функции

Доказательство периодичности функции.

Вспомним определение периодической функции:

Функция  называется периодической, если для любого из области определения функции существует такое число , что значения , также принадлежат области определения и для них выполняется равенство .

Для нас существенно, что это равенство выполняется для любых значений из области определения функции.

Пример 1. Доказать, что функция периодическая, и наименьший положительный период равен .

Доказательство. Докажем, что  для любого .

Для этого докажем, что

Преобразуем разность синусов в произведение.

Заметим, что второй множитель не зависит от , и если , то все произведение равно для любого .

Получаем: , отсюда , и наименьший положительный период равен .

Пример 2. Доказать, что функция не является периодической.

Доказательство. Предположим, что существует такое число , что .

Перенесем все слагаемые влево и применим формулы преобразования разности синусов и разности косинусов в произведение:

Заметим, что в каждом произведении есть множитель, который не зависит от . Если этот множитель равен нулю, то левая часть равенства будет равна нулю для любого . То есть нужно потребовать, чтобы выполнялись равенства и

Отсюда получаем (1) и (2).

Если второе равенство разделить на первое, то получим  , что невозможно, так как рациональное число не может быть равно иррациональному. Равенства (1) и (2) выполняются одновременно только если . Пришли к противоречию, следовательно, функция не является периодической.

Пример 3. Доказать, что функция не является периодической.

Доказательство. Заметим, что аргумент косинуса не является рациональной функцией.

Предположим, что существует такое число , что при любых выполняется равенство .

Равенство  должно выполняться при любых , в частности, при . Тогда получим: . Следовательно, . Отсюда . (1)

Если , то получим . То есть , и отсюда . Тогда . (2).

Разделим равенство (2) на равенство (1), получим:

. Отсюда , что невозможно.Равенства (1) и (2) выполняются одновременно только если . Пришли к противоречию. Следовательно, функция не является периодической.

Репетитор по математике Инна Владимировна Фельдман.