Задание 18 из т/р №154 А. Ларина

Заметим, что если мы в системе поменяем местами и , то система не изменится. Это значит, что если пара является решением системы, то пара также будет решением данной системы. В случае, если , мы не получаем симметричного решения. Поэтому система может иметь ровно три решения только в том случае, если среди решений присутствует решение .

Так же легко проверить, что если тройка чисел является решением исходной системы, то тройка чисел  также будет решением системы. Поэтому если число удовлетворяет заданным условиям, то число  также будет удовлетворять.

Найдем все значения параметра , при которых среди решений системы содержится решение .

В этом случае получим систему:

   

Из первого уравнения получаем

Подставим во второе уравнение:

, отсюда или 

Подставим во второе уравнение:

, отсюда или .

Проверим, сколько корней будет иметь исходная система при   и при .

Проверим .

Получим систему:

   

Построим графики каждого уравнения. Начнем со второго.

Приравняем каждое подмодульное выражение к нулю, и получим прямые, которые разбивают плоскость на области, в которых подмодульные выражения сохраняют знак:

Пронумеруем эти области:

Расставим знаки:

Раскроем модули в уравнении в каждой области:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

Получим график второго уравнения:

 

Нанесем на этот чертеж график первого уравнения: это зеленая окружность с центром в точке .

 

 

Мы видим, что в этом случае система имеет три решения, и значение параметра нам подходит. Следовательно, значение  также подойдет.

Проверим .

При  , мы получим границы областей :

Знаки подмодульных выражений в этих областях:

Раскроем модули в уравнении в каждой области:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

В этом случае получим такой график:

При система имеет единственное решение, это значение нам не подходит. Соответственно  также не подойдет.

Ответ: 1; -1