Решим задачу из Задания С5 для подготовки к ЕГЭ по математике:
Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых неравенство 
имеет единственное решение на отрезке [1;3].
1. Упростим выражение под знаком модуля:
2. Неравенство 
равносильно системе:
Запишем наше неравенство в виде равносильной системы:
Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю:
3. Изобразим на параметрической плоскости 
решение системы.
Начнем с первого неравенства. Смена знаков происходит в точках, в которых числитель и знаменатель дроби равны нулю. Приравняем числитель и знаменатель дроби к нулю:
, 
, 
Числитель обращается в ноль в точках параболы . (Нам проще выразить параметр через переменную 
, поэтому в нашей параметрической плоскости вертикальной осью мы назначим ось , а горизонтальной - ось )
Знаменатель обращается в ноль в точках прямой . Так как знаменатель не равен нулю, прямую изображем пунктирной линией. Точки пересечения графиков и мы выкалываем:
При пересечении графиков дробь меняет знак. Определимся со знаками. Возьмем точку с координатами 
и подставим значения и в первое неравенство:
. Следовательно в области, содержащей эту точку, дробь в левой части первого неравенства меньше нуля. При переходе через график знак меняется:
Нас интересуют области, где левая часть неравенства меньше или равна нулю:
Теперь займемся вторым неравенством системы: 
Числитель обращается в ноль в точках параболы 
, а знаменатель в точках прямой :
Определим знак дроби в левой части неравенства в точке с координатами .
Нас интересуют области, в которых выполняется неравенство :
Совместим закрашенные области:
Итак, множество точек координатной плоскости 
, удовлетворяющих системе неравенств представляют из себя такую фигуру:
По условию задачи, нам нужно узнать, при каком значении параметра неравенство имеет единственное решение на отрезке [1;3] , то есть в этой выделенной области:
Если мы будем двигать прямую, параллельную оси вдоль оси (ординаты всех точек этой прямой равны определенному значению параметра), то увидим, что эта прямая имеет с нужной нам областью одну точку пересечения при 
:
Ответ: {3}
Инна! Большое спасибо Вам за ваши рассылки и все материалы, которые вы публикуете. Думаю, ваш труд пригодится очень многим. Я для себя нашла столько полезного.
никак не одолею этот параметр!
спасибо большое!!!! а когда на ЕГЭ будешь описывать подробное решение, то графики надо строить? если не построишь, то баллы сократят?
И строить, и подробно описывать построение и нахождение координат точек.
А можно ли просто раскрывать модули и решать уже две системы на параметрической плоскости?
при этом брать x не равно а
Можно
Но прямая х=3 пересечет область в выколотой точке! Т.Е. таких а нет?!
ПРОСМОТРЕЛ х=1, все точно!
Но при а =3 x=3 запрещено (ОДЗ!) и таких а нет!