Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
31 Май 2013
17 Задание (2022) (C6)ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ

Задача с параметром — 3. Задание С5

Решим задачу из Задания С5   для  подготовки к ЕГЭ  по математике:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство delim{|}{{x^2-x-2a}/{x-a}-1}{|}<=2 имеет единственное решение на отрезке [1;3].

1.  Упростим выражение под знаком модуля:

delim{|}{{x^2-x-2a-x+a}/{x-a}}{|}<=2

delim{|}{{x^2-2x-a}/{x-a}}{|}<=2

2. Неравенство delim{|}{x}{|}<=a равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<=a} {x>=-a} }}{ }

Запишем наше неравенство в виде равносильной системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{x^2-2x-a}/{x-a}<=2} {{x^2-2x-a}/{x-a}>=-2} }}{ }

Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{x^2-2x-a-2x+2a}/{x-a}<=0} {{x^2-2x-a+2x-2a}/{x-a}>=0} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{x^2-4x+a}/{x-a}<=0} {{x^2-3a}/{x-a}>=0} }}{ }

3. Изобразим на параметрической плоскости ( x;a)  решение системы.

Начнем с первого неравенства. Смена знаков происходит в  точках, в которых числитель и знаменатель дроби равны нулю. Приравняем числитель и знаменатель дроби к нулю:

x^2-4x+a=0, a=-x^2+4x

x-a=0, a=x

Числитель обращается в ноль в точках параболы a=-x^2+4x. (Нам проще выразить параметр a через переменную x, поэтому в нашей параметрической плоскости вертикальной осью мы назначим ось a,  а горизонтальной - ось x)

Знаменатель обращается в ноль  в  точках прямой a=x. Так как знаменатель не равен нулю, прямую a=x изображем пунктирной линией. Точки пересечения графиков  a=-x^2+4x и a=x мы выкалываем:

При пересечении графиков дробь меняет знак. Определимся со знаками. Возьмем точку с  координатами   x=2; a=0  и подставим значения  x и  a в первое неравенство:

{2^2-4*2+0}/{2-0}<0. Следовательно в области, содержащей эту точку, дробь в левой части первого неравенства меньше нуля. При переходе через график знак меняется:

Нас интересуют области, где левая часть неравенства меньше или равна нулю:

Теперь займемся вторым неравенством системы: {x^2-3a}/{x-a}>=0

Числитель обращается в ноль в точках параболы a={x^2}/3, а знаменатель в точках прямой a=x:

Определим знак дроби в левой части неравенства в точке с  координатами   x=2; a=0.

{2^2-3*0}/{2-0}>0

Нас интересуют области, в которых выполняется неравенство  {x^2-3a}/{x-a}>=0:

Совместим закрашенные области:

Итак, множество точек координатной плоскости (x,a), удовлетворяющих системе неравенств представляют из себя такую фигуру:

По условию задачи, нам нужно узнать, при каком значении параметра неравенство имеет единственное решение  на отрезке [1;3] , то есть в этой выделенной области:

Если мы будем двигать прямую, параллельную оси x вдоль оси a (ординаты всех точек этой прямой равны определенному значению параметра), то увидим, что эта прямая имеет с нужной нам областью одну точку пересечения при a=3:

Ответ: {3}

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Задача с параметром — 3. Задание С5
| Отзывов (44)

Отзывов (44)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. ella
    в 13:11

    НУ как за 4 часа решить такие сложные задания из части С. Это надо быть настолько напичканным….
    Ответить
  2. Мария
    в 14:00

    Добрый день. Решаю похожее задания и в числителе одного из неравенств сокращается параметр а. Как строить такую параболу?
    Ответить
    • Инна
      в 17:32

      А что в числителе?
      Ответить
      • Мария
        в 17:50

        в числителе 4*x^2 — 8*x
        Ответить
        • Инна
          в 04:24

          Числитель обращается в ноль при х=0 и х=2 — это вертикальные прямые, если ось х — горизонтальная
          Ответить
          • Мария
            в 06:28

            Спасибо)
            Ответить
          • Ольга
            в 09:40

            Получилось в ответе а=(-бесконечности;0). Верно?
            Ответить
  3. Анатолий
    в 16:23

    При а=3 два же решения х=1 и х=3?
    Ответить
    • Инна
      в 17:32

      х=3 выколота
      Ответить
  4. марина
    в 17:16

    Инна, примите от меня искреннее спасибо!!! Вы просто супер.
    Ответить
  5. Александр
    в 18:09

    Действительно, в одном из вариантов этого задания параметр сокращается, что в таком случае делать. Задание: при каких а справедливо неравенство на при х, принадлежащему отрезку
    Ответить
  6. Ольга
    в 08:03

    Инна Владимировна, спасибо Вам за подробное решение!
    Решаю аналогичную задачу. Получила два неравенства (x^2-2x-5a)/(x+a)=0. Построила две параболы и прямую, знаки определила. В ответе нужно указать промежуток когда неравенство не имеет решений на интервале (1,2) — получила на этом интервале не закрашенную область когда а=(-1/5;-1). В случае когда а=-1/5 получаю единственное решение, а при всех остальных а более одного решения. Буду рада с кем-нибудь из пользователей сверить свое решение.
    Ответить
    • Ольга
      в 11:03

      Ответ другой: а принадлежит (-бесконечности;-1/5)U(8;+бесконечности)
      Ответить
  7. Ольга
    в 04:01

    Инна, огромное спасибо за материал, но в С5 я не поняла, почему при х=а ответ 3. Ведь знаменатель обращается в 0.
    Ответить
    • Инна
      в 06:14

      а=3, х=1 — единственное решение
      Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *