Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
31 Май 2013
17 Задание (2022) (C6)ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ

Задача с параметром — 3. Задание С5

Решим задачу из Задания С5   для  подготовки к ЕГЭ  по математике:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство delim{|}{{x^2-x-2a}/{x-a}-1}{|}<=2 имеет единственное решение на отрезке [1;3].

1.  Упростим выражение под знаком модуля:

delim{|}{{x^2-x-2a-x+a}/{x-a}}{|}<=2

delim{|}{{x^2-2x-a}/{x-a}}{|}<=2

2. Неравенство delim{|}{x}{|}<=a равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<=a} {x>=-a} }}{ }

Запишем наше неравенство в виде равносильной системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{x^2-2x-a}/{x-a}<=2} {{x^2-2x-a}/{x-a}>=-2} }}{ }

Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{x^2-2x-a-2x+2a}/{x-a}<=0} {{x^2-2x-a+2x-2a}/{x-a}>=0} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{x^2-4x+a}/{x-a}<=0} {{x^2-3a}/{x-a}>=0} }}{ }

3. Изобразим на параметрической плоскости ( x;a)  решение системы.

Начнем с первого неравенства. Смена знаков происходит в  точках, в которых числитель и знаменатель дроби равны нулю. Приравняем числитель и знаменатель дроби к нулю:

x^2-4x+a=0, a=-x^2+4x

x-a=0, a=x

Числитель обращается в ноль в точках параболы a=-x^2+4x. (Нам проще выразить параметр a через переменную x, поэтому в нашей параметрической плоскости вертикальной осью мы назначим ось a,  а горизонтальной - ось x)

Знаменатель обращается в ноль  в  точках прямой a=x. Так как знаменатель не равен нулю, прямую a=x изображем пунктирной линией. Точки пересечения графиков  a=-x^2+4x и a=x мы выкалываем:

При пересечении графиков дробь меняет знак. Определимся со знаками. Возьмем точку с  координатами   x=2; a=0  и подставим значения  x и  a в первое неравенство:

{2^2-4*2+0}/{2-0}<0. Следовательно в области, содержащей эту точку, дробь в левой части первого неравенства меньше нуля. При переходе через график знак меняется:

Нас интересуют области, где левая часть неравенства меньше или равна нулю:

Теперь займемся вторым неравенством системы: {x^2-3a}/{x-a}>=0

Числитель обращается в ноль в точках параболы a={x^2}/3, а знаменатель в точках прямой a=x:

Определим знак дроби в левой части неравенства в точке с  координатами   x=2; a=0.

{2^2-3*0}/{2-0}>0

Нас интересуют области, в которых выполняется неравенство  {x^2-3a}/{x-a}>=0:

Совместим закрашенные области:

Итак, множество точек координатной плоскости (x,a), удовлетворяющих системе неравенств представляют из себя такую фигуру:

По условию задачи, нам нужно узнать, при каком значении параметра неравенство имеет единственное решение  на отрезке [1;3] , то есть в этой выделенной области:

Если мы будем двигать прямую, параллельную оси x вдоль оси a (ординаты всех точек этой прямой равны определенному значению параметра), то увидим, что эта прямая имеет с нужной нам областью одну точку пересечения при a=3:

Ответ: {3}

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Задача с параметром — 3. Задание С5
| Отзывов (44)

Отзывов (44)

Следующие комментарии →
  1. Никита
    в 15:56

    Вы тоже нашли уже задания к математике ? 😀
    Ответить
    • Инна
      в 16:58

      Это они меня нашли 🙂
      Ответить
      • Алла
        в 19:54

        А такое задание действительно встретится в ЕГЭ 3 июня 2013 года (центральный регион)?
        Ответить
        • Инна
          в 04:21

          Не знаю. Все может быть
          Ответить
  2. Никита
    в 16:49

    А теперь по теме: можно ли решить это задание без плоскости ? На ЕГЭ бумагу в клетку не выдают, так строить тяжко (я, когда от руки построил, то знаки неправильно определил у второго неравенства)
    Ответить
    • Инна
      в 16:58

      Теоретически можно, но практически сложнее.
      Ответить
      • Никита
        в 17:15

        Просто у меня 2 дня осталось до ЕГЭ, а С5 я разбирать начал только вчера (за 2 дня все ваши статьи по С5 разобрал). Не знаю как быть. Когда читаю где-то решение заданий, то все понимаю, а сам не могу. Вот думал, что без плоскости полегче, но оказалось не так.
        Ответить
        • Инна
          в 17:34

          Никита, ты хотя бы постарайся воспроизвести готовое решение, не решай незнакомые задачи.
          Ответить
  3. Дмитрий
    в 09:22

    Инна, добрый день! Попалось задание С5, подскажите, в каком направлении двигаться?
    a^2+9|x-3|+3((x^2-6x+13)^1/2) = 4a+2|x-2a-3|
    Ответить
  4. Матвей
    в 10:01

    Один вопрос:
    Почему параметр со значением a=4 не будет подходить под данное условие? Пересечение с вершиной параболы ведь тоже дает в итоге одно решение на промежутке [1;3].
    Ответить
    • Иван
      в 11:32

      Потому что при а=4 будет больше одного решения (а точнее любое х из промежутка от 1 до 3х).
      Ответить
      • Матвей
        в 06:47

        Нет, ну в условии же сказано, что «Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство имеет единственное решение на отрезке [1;3].» Единственное решение именно НА ОТРЕЗКЕ [1;3], а не вообще на всей области. Если бы был отрезок [1;4], то нер-во с параметром a=4 не подходило, т.к. было бы 2 точки пересечения: непосредственно сама вершина и точка (4;4). Я прошу прощения, если не понимаю условия, но охота разобраться в задании.
        Ответить
        • Инна
          в 06:12

          Если провести прямую а=4, то она пересечет закрашенную область в более чем одной точке
          Ответить
  5. Ирина
    в 10:15

    Здорово!!! Спасибо!
    Ответить
  6. Лена
    в 12:10

    Инна, добрый день! Объясните пожалуйста, почему при значении параметра а=3 имеются решения? Ведь точка х=3 выколотая и у неравенства нет решений.
    Ответить
    • Инна
      в 17:33

      Точка на границе — она выделена
      Ответить
  7. ella
    в 13:10

    ГОСПОДИ, КАК СЛОЖНО!!!!
    Ответить
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *