Расстояние от точки до прямой на плоскости (метод координат) и задача с параметром

Расстояние от точки до прямой на плоскости и задача с параметром.

Выведем формулу для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости с помощью метода координат, а затем используем эту формулу для решения задачи с параметром.

Пусть нам нужно найти расстояние от точки до прямой .

Запишем уравнение прямой, перпендикулярной вектору  , проходящей через точку .

Для любой точки , принадлежащей прямой, вектор , поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала:

Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:

- это число, пусть 

Получим: , или .

Таким образом, в уравнении прямой коэффициенты и - координаты вектора нормали.

Выведем формулу для нахождения расстояния от точки до прямой .

Расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Пусть основание перпендикуляра  - точка .

Координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: , отсюда . (1)

Мы получили вектор   , коллинеарный вектору нормали . Нам надо найти длину этого вектора.

Если вектора коллинеарны, то косинус угла между этими векторами равен 1.

Запишем, чему равно скалярное произведение векторов  и .

С одной стороны, скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:

(2)

С другой стороны, скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат:

(из равенства (1)) (3)

Приравняем выражения для скалярного произведения (правые части равенств (2) и (3):

Отсюда

Так как длина вектора есть величина неотрицательная, возьмем правую часть по модулю, и получим формулу для нахождения расстояния от точки до прямой :

Решим задачу с параметром с использованием этой формулы.

Найдите все значения параметра ,  при каждом из которых система уравнений

имеет более одного решения.

Решение.

показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике