Решение.
а) Достроим трапецию до прямоугольного треугольника:
Докажем, что треугольник 
подобен треугольнику 
. Угол 
- общий угол этих треугольников. В подобных треугольниках против сходственных сторон лежат равные углы. Если мы докажем, что 
, то тем самым мы докажем подобие треугольников и по двум сторонам и углу между ними, и равенство углов 
и 
.
Рассмотрим треугольники 
и 
- это прямоугольные треугольники с общим углом . Следовательно, они подобны по двум углам. Пусть коэффициент подобия равен 
. И пусть 
. Тогда 
:
Помним, что нам надо доказать равенство .
В прямоугольном треугольнике отрезок 
- высота. По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике 
, тогда 
Отсюда 
В прямоугольном треугольнике 
отрезок 
- высота. По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике 
, тогда 
Отсюда 
Мы доказали равенство , следовательно, треугольники и подобны и 
. Следовательно, прямые 
и 
параллельны.
2 способ доказательства п. а).
Рассмотрим четырехугольник 
:
, следовательно, 
и около четырехугольника можно описать окружность:
По свойству вписанных углов 
.
Аналогично можно описать окружность около четырехугольника 
. По свойству вписанных углов 
:
, следовательно, по свойству накрест лежащих углов 
, то есть 
и 
, отсюда следует, что прямые и параллельны.
б) Найдем отношение 
.
Так как треугольники и подобны, 
.
По условию угол 
, следовательно, угол
. 
Следовательно, треугольники 
и 
- равнобедренные, 
, отсюда 
.
Ответ:
боковая сторона 
перпендикулярна основаниям. Из точки 
на сторону 
опустили препендикуляр 
. На стороне 
так, что прямые 
перпендикулярны.
и 
параллельны.
, если угол 
.
Вы не ищите в своих решениях лёгких путей) Но к чему тут теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике? Не уверен даже, что она в образовательный стандарт входит, и что её не надо доказывать на ЕГЭ. Всё же из подобия получается.
Согласна, не самое простое решение. Но теорема о пропорциональных отрезках таки входит в образовательный стандарт)
Спасибо. Да, я вспомнил, это же про среднее геометрическое)