ДВИ в МГУ, 14.07.2107. Вариант 2, задача 5. Планиметрия.
Через вершины 
и 
треугольника 
проведена окружность, касающаяся прямых 
и 
. На этой окружности выбрана точка 
(внутри треугольника), лежащая на расстоянии 1 от прямой 
. Найдите расстояние от точки до прямой , если известно, что 
и что 
Решение. показать
Наша задача найти длину высоты 
, проведенной к стороне треугольника 
.
Пусть 
.
По теореме о хорде и касательной 
, следовательно, треугольник 
- равнобедренный прямоугольный.
Треугольник 
подобен треугольнику по двум углам.
Запишем отношения сходственных сторон.
(1)
-из треугольника 
(2)
Длину отрезка найдем из прямоугольного треугольника 
. Здесь 
- радиус, проведенный к точке касания:
По теореме синусов 
.
Из прямоугольного треугольника получим: 
, отсюда
.
Подставим в равенство (1) найденные длины сторон, получим:
Отсюда: 
Тогда 
Теперь можем перейти к нахождению дины отрезка .
Ответ: 
И.В. Фельдман, репетитор по математике
и 
треугольника 
проведена окружность, касающаяся прямых 
и 
. На этой окружности выбрана точка 
(внутри треугольника), лежащая на расстоянии 1 от прямой 
. Найдите расстояние от точки 
и что 
Здравствуйте, объясните пожалуйста почему в данной задаче рассматривая подобие треугольников LKS и LSM получаем отношение сходственных сторон LM/LK и LS/KS и почему ctg(LMO)=ctg(45-a)
Сходственные стороны лежат против равных углов.