ДВИ МГУ 18.07.2018 (задание 7, стереометрия)

Центр сферы, описанной около тетраэдра равноудален от его вершин. То есть центр сферы лежит на пересечении серединных перпендикулярах к ребрам тетраэдра. Тетраэдры  содержат боковые ребра параллелепипеда , серединные перпендикуляры к боковым ребрам параллелепипеда лежат в плоскости, перпендикулярной боковым ребрам. Поэтому центры сфер, описанных около этих тетраэдров лежат в плоскости, которая перпендикулярна боковым ребрам параллелепипеда и проходит через середины этих ребер. То есть в плоскости, параллельной основаниям параллелепипеда.

Кроме того, центр сферы, описанной около тетраэдра, лежит на прямой, которая перпендикулярна грани тетраэдра и проходит через центр окружности, описанной около этой грани.

Рассмотрим  тетраэдр . Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника  лежит в середине гипотенузы этого треугольника, то есть в середине отрезка . Пусть это точка . Центр сферы, описанной около тетраэдра лежит на прямой, перпендикулярной плоскости , проходящей через точку . И одновременно на серединном перпендикуляре к ребру :

Аналогично построим точки - центры сфер, описанных около тетраэдров :

Точки - проекции точек  соответственно на плоскость .

Точка - середина отрезка , точка - середина отрезка .

Поскольку плоскость, проходящая через точки  параллельна плоскости , расстояния между точками  равно расстоянию между точками   соответственно.

По условию . Пусть , .

Сделаем выносной чертеж:

Расстояние между точками   и по условию равно 1. Введем систему координат с началом в точке и найдем расстояние между точками  и . 

Координаты точек:

; ;  .

Координаты векторов:

; 

; Отсюда ,

Ответ: