Решение тригонометрического неравенства. ДВИ МГУ.
В этой статье мы решим тригонометрическое неравенство, которое предлагалось на дополнительных вступительных испытания в МГУ.
Приравняем левую часть неравенства к нулю. В точках, в которых левая часть неравенства равна нулю, она может менять знак.
Разложим левую часть неравенства на множители.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
Сгруппируем:
;
;
Отсюда
(1)
или
(2)
Решим уравнение (1):
;
;
.
Решим уравнение (2):
;
Это уравнение вида 
, решается с помощью введения вспомогательного угла:
,
или
,
.
Итак, мы получили три серии решений:
; 
Нанесем их на тригонометрический круг:
поскольку среди этих точек нет корней четной кратности, и ни одна из точек не лежит на пересечении с тригонометрической окружностью, в этих точках левая часть неравенства 
меняет знак.
Методом пробной точки определим знаки левой части неравенства на каждом промежутке.
Выясним знак выражения 
в точке 
: 
, следовательно на промежутке, содержащем точку 0 оно положительно, и на остальных промежутках имеет такие знаки:
Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство . Выделим их:
Теперь наша задача правильно записать выделенные промежутки, упорядочить значения указанных точек. Движение по тригонометрическому кругу в положительном направлении - это движение против часовой стрелки, и значение каждой следующей точки должно соответствовать значению предыдущей. Если считать, что мы начали двигаться из точки 
, то следующая за ней точка должна иметь значение 
:
Теперь мы можем записать ответ:
, 
.
(ДВИ МГУ 2015)
» В точках, в которых левая часть неравенства равна нулю, она меняет знак. »
Совершенно необязательно
Да, уточнила, спасибо.