Решим уравнение:
(ДВИ МГУ, 2013)
Решение. показать
Приведем правую и левую части уравнения к общему знаменателю:
Воспользуемся формулой синуса разности двух углов:
Перенесем все влево:
Вынесем 
за скобку и преобразуем знаменатели дробей по формуле синуса двойного угла:
(1)
Мы получили распадающееся уравнение.
Найдем ОДЗ:
, отсюда 
, отсюда 
Приравняем к нулю каждый множитель в левой части уравнения (1):
, отсюда 
Разделим обе части уравнения на 2 и приведем левую часть к общему знаменателю:
По формуле преобразования суммы синусов в произведение разложим на множители числитель дроби:
Приравняем числитель к нулю, получим
, отсюда 
, отсюда 
Сведем все полученные решения в систему:
где 
Теперь перед нами стоит задача записать ответ максимально компактно.
Объединим первую и третью серии решений.
- в числителе стоит произведение числа 
и четного числа;
- в числителе стоит произведение числа и нечетного числа.
Объединив эти серии решений, мы получим 
.
Наша система приобрела более компактный вид:
Учтем ОДЗ:
1) 
,
, 
Следовательно, для серии 
, 
- целое число, не кратное числу 4. 
, 
Следовательно, для серии 
, 
- целое число, не кратное числу 3. 
2) 
;
, отсюда 
.
;
, отсюда 
.
Ответ: 
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Добавить комментарий