ДВИ МГУ 18.07.2018 (задание 8)
Разберем решение задания 8, которое вызвало наибольшие трудности у абитуриентов.
8. Найдите все пары чисел 
из промежутка 
, при которых достигается минимум выражения
Решение. показать
Чтобы найти, при каких значениях переменных выражение достигает минимума часто используют известные неравенства. В частности, неравенство Коши.
В упрощенной формулировке неравенство Коши формулируется так:
если 
, 
, то 
.
При этом неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда 
.
То есть мы можем ограничить снизу сумму двух неотрицательных выражений:
.
В общей форме неравенство Коши формулируется следующим образом: если 
, где 
, то
причем неравенство превращается в равенство, если 
.
Таким образом, мы можем ограничить снизу выражение 
:
Воспользуемся неравенством Коши в общей форме.
В нашем выражении, поскольку переменные принадлежат промежутку , 
.
Введем замену: 
.
Получим выражение: 
Заметим, что произведение 
Если мы попытаемся оценить каждую скобку с помощью неравенства Коши в формулировке 
, то получим:
;
В этом случае получаем такую оценку: 
В правой части неравенства мы не смогли получить число.
Значит, нам надо сделать так, чтобы в правой части неравенства переменные 
и 
были в одинаковой степени. Ориентируясь на первый множитель 
, постараемся сделать так, чтобы переменные 
и были под знаком квадратного корня. Исходя из формулировки 
неравенства Коши, для этого во второй скобке должно быть 4 слагаемых, а в третьей - 8 слагаемых. При этом нижняя граница достигается в том случае, если все слагаемые равны между собой.
С первым слагаемым в каждой скобке мы ничего сделать не можем, а вот единицу мы можем легко разбить на нужное число равных слагаемых.
Получим:
Ограничим снизу каждый множитель:
Теперь и в одинаковой степени, и если мы перемножим неравенства 
, то в правой части получим число, которое ограничивает произведение 
снизу. Однако нам не важно значение этой нижней границы. Нам важно, при каких значениях переменных и она достигается. Она достигается, если
Вернемся к исходным переменным:
Осталось решить эту систему.
Из второго уравнения системы получаем 
Отсюда 
Из третьего уравнения получаем 
.
Отсюда 
Подставляем 
и 
равенства:
Так как по условию 
, делим обе части уравнения на 
;
Правая часть уравнения больше нуля, можем возвести обе части в квадрат.
,
, отсюда с учетом того, что 
, получаем
Далее: 
; 
.
Отсюда, с учетом того, что 
, получаем
.
Заметим, что эти значения удовлетворяют второму уравнению системы.
Ответ: ; .
И.В. Фельдман, репетитор по математике
Отличное решение задания 8 дви 2018! Так доходчиво объясняете, всё понял. Сам бы ни за что не догадался. Спасибо большое!
Я рада!)
Объясните, пожалуйста, почему вы дроби приравняли именно к следующим занчениям 1, 1/3, 1/21, а не, например, к 1, 1, 1/21 или 2/21, 1/2, 1?
Мы разбиваем единицу на одинаковые слагаемые. Во второй скобке (которая в квадрате) нам нужно получить всего 4 слагаемых, одно есть (v), значит единицу разбиваем на з одинаковых слагаемых: 1/3+1/3+1/3. В третьей скобке (которая в четвертой степени) нам нужно получить всего 8 слагаемых, одно есть (t), значит единицу разбиваем на 7 одинаковых слагаемых: 1/7+1/7+…
По поводу замечания Глеба. Нам, действительно, не важно какое число получится в правой части, а поэтому и неважно на сколько одинаковых слагаемых мы разобьем единицу. Но! Если взять 1, 1 и 1/21 и подставить вместо а, б, с и попробовать решить систему из трех уравнений, то сразу убедимся, что она решений не имеет. А вот по поводу 1, 1/2, 2/21 или 1/4 и 4/21 и т.д., то тут очевидно, что единицу нельзя разбить на целое число одинаковых слагаемых по 2/21, 4/21 и т.д.
Нам надо, чтобы
были в одинаковой степени, то есть в степени 1/2. Для этого нам надо, чтобы в скобке, содержащей 
было 4 слагаемых (эта скобка в квадрате), а в скобке, содержащей 
было 8 слагаемых (эта скобка в четвертой степени). Отсюда необходимое число слагаемых, на которые разбиваем единицу.