Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
26 Янв 2012
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Логарифм. Свойства логарифмов

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство a^x=b. Пусть нам известны значения a и b и мы хотим найти значение x.

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести a чтобы получить b.

Пусть переменная x может принимать любое действительное значение, тогда на переменные a и b накладываются такие ограничения: a>o ,  a<>1,   b>0

Если нам известны значения a и b, и перед нами стоит задача найти неизвестное x, то для этой цели вводится математическое  действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение x, мы берем логарифм числа b по основанию a:

x=log_{a}b

Итак,

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести  a, чтобы получить b.

То есть основное логарифмическое тождество:

a^{log_{a}b}=b             a>o ,  a<>1,   b>0

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция  логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

(a>o ,  a<>1,   b>0,  c>0,~~d>0,   d<>1

1. a^{log_{a}b}=b

2. log_{a}a=1

3. log_{a}1=0

4. log_{a}{(bc)}=log_{a}b+log_{a}c

5. log_{a}{(b/c)}=log_{a}b-log_{a}c

Следующая группа свойств позволяет представить  показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента  перед знаком логарифма:

6. log_{a}b^n=nlog_{a}b

7. log_{a^k}b={1/k}log_{a}b

8. log_{a^k}b^n={n/k}log_{a}b

9. log_{a^n}b^n=log_{a}b

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10. log_{a}b={log_{d}b}/{log_{d}a}

11. log_{a}b=1/{log_{b}a}

12. (следствие из свойства 11)

{log_{a}b}*{log_{b}a}=1

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13. a^{log_{b}c}=c^{log_{b}a}

14. a^{log^2_{a}b}=b^{log_{a}b}

15. a^{sqrt{log_{a}b}}=b^{sqrt{log_{b}a}}

 

Частные случаи:

log_{10}a=lg(a) - десятичный логарифм

log_{ e}(a)=ln(a)  -  натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы  применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

2^{log_{sqrt{2}}2,5}-7^{log_{343}{{(7,25)}^3}}+3^{4log_9{2,5}}

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

{log_{sqrt{2}}2,5}={log_{{2}^{1/2}}2,5}=(по свойству 7){2log_{2}2,5}=(по свойству 6) {log_{2}{{2,5}^2}}={log_{2}{6,25}}

{log_{343}{{(7,25)}^3}}={log_{7^3}{{(7,25)}^3}}={1/3}{log_{7}{{(7,25)}^3}}={3/3}{log_{7}{(7,25)}}={log_{7}{(7,25)}}

{4log_9{2,5}}={4log_{3^2}{2,5}}={4/2}log_{3}{2,5}={2}log_{3}{2,5}=log_{3}{{2,5}^2}=log_{3}{6,25}

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

2^{log_{2}{6,25}}-7^{log_{7}{(7,25)}}+3^{log_{3}{6,25}}=6,25-7,25+6,25=5,25

Ответ: 5,25

 

Пример 2. Вычислить:

{log_6{30}}/{log_{30}6}-{log_6{180}}/{log_5{6}}

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби "перекочуют" в числитель):

{log_6{30}}*{log_{6}{30}}-{log_{6}{180}}*{log_6{5}}

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

{log_{6}{(5*6)}}*{log_{6}{(5*6)}}-{log_{6}{({6^2}*5})}*{log_{6}{5}}

Применим свойства 4 и 6:

{(log_{6}5+log_{6}6)}*{(log_{6}5+log_{6}6)}-{(2log_{6}6+log_{6}5)}*{log_{6}5}=({log_{6}5+1})*{(log_{6}5+1)}-{(2+log_{6}5)}*{log_{6}5}

Введем замену  {log_{6}5}=t

({t+1})*{(t+1)}-{(2+t)}*{t}=(t+1)^2-(2+t)t

Получим:1+2t+t^2-2t-t^2=1

Ответ:  1 

 

Скачать таблицу логарифм и его свойства

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Логарифм. Свойства логарифмов
| Отзывов (75)

Отзывов (75)

← Предыдущие комментарии
  1. Павел
    в 18:26

    Здравствуйте Инна
    Могли бы вы мне, пожалуйста, помочь с решением данного уравнения?
    http://floomby.ru/s2/AgB9n5
    Ответить
    • Инна
      в 13:49

      Нужно найти ОДЗ уравнения. Получится, что ОДЗ содержит единственную точку х=2, она и будет решением.
      Ответить
  2. Юлия
    в 16:15

    Здравствуйте! Не могли бы вы привести доказательство свойств №13 и 14?
    Ответить
    • Инна
      в 17:09

      В 13 возьмите от обеих частей равенства логарифм по основанию а и получите верное равенство
      14.
      Ответить
      • Юлия
        в 18:14

        спасибо!
        Ответить
        • Даша
          в 14:09

          Как быть, если степень не 2, а 11/12, например?
          Ответить
  3. Любовь
    в 14:43

    Добрый день !
    У вас в таблице «логарифм и его свойства» в пункте «следствие»,3-я строка, вкралась ошибка…?!
    Сайт очень полезный , спасибо !
    Ответить
    • Инна
      в 14:54

      Любовь, я не нашла ошибку. Можете указать более конкретно?
      Ответить
  4. Даша
    в 14:15

    5^(2−log^(11/12) трех по основанию 5).Подскажите, пожалуйста, как здесь быть.
    Ответить
← Предыдущие комментарии

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *