Решение иррациональных неравенств

Решение иррациональных неравенств

В этой статье я расскажу,  как решать иррациональные неравенства.

Сначала мы рассмотрим решение неравенства вида 

Чтобы его решить, нужно обе части неравенства возвести в квадрат и вовремя вспомнить об ОДЗ: подкоренное выражение меньшего из корней должно быть неотрицательным - тогда подкоренное выражение большего корня автоматически будет больше нуля. Таким образом, неравенство вида  равносильно системе неравенств:

Практически все сложные иррациональные неравенства, в конечном итоге сводятся к базовым иррациональным неравенствам двух типов.

Иррациональные неравенства первого типа: 

Заметим, что в левой части неравенства стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения, следовательно, чтобы неравенство имело решения, правая часть должна быть положительной.

Получаем первое условие:

Чтобы решить неравенство, нам нужно обе части возвести в квадрат.

Получаем второе условие:

Возведение в квадрат может привести к появлению  посторонних корней, поэтому не забываем про ОДЗ: подкоренное выражение   должно быть неотрицательным.

Получили третье условие: 

Итак, неравенство вида   равносильно системе неравенств:

Аналогично, нестрогое неравенство   равносильно системе неравенств:

Иррациональные неравенства второго типа:   .

Не смотря на то, что это неравенство с виду похоже на неравенство первого типа, оно принципиально от него отличается.

Поскольку в левой части неравенства стоит квадратный корень, левая часть всегда неотрицательна, поэтому

• если , то неравенство выполняется при любом допустимом значении x, то есть при =0" title="f(x)>=0"/>.
• если , то мы можем обе части неравенства возвести в квадрат, получим , и условие на ОДЗ будет автоматически следовать из этого неравенства.

Итак, неравенство вида  равносильно совокупности двух систем неравенств:

Нестрогое неравенство вида  равносильно совокупности:

.

Рассмотрим примеры решения иррациональных неравенств.

1. Решить неравенство:

Это неравенство второго типа, оно равносильно совокупности двух систем:

Решим каждое неравенство:

1.

D=1-8=-7, старший коэффициент больше нуля, следовательно это неравенство верно при любом значении х. Решением первой системы будет решение ее второго неравенства: x≥2.

2.    Очевидно, что это неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся вторая система не имеет решений.

Ответ: x≥2.

2. Решить неравенство:

Это иррациональное неравенство первого типа, и оно равносильно системе трех неравенств:

Решим каждое неравенство:

1. 

2. 

D=144-200<0, следовательно, это неравенство верно при любом значении х.

3. 

,  

Совместим решения первого и третьего неравенств системы на одной координатной прямой:

Ответ: 0≤ x ≤ 2.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.