Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-04-05

Главная » СТАТЬИ » ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение иррациональных неравенств

05 Апр 2012

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение иррациональных неравенств

В этой статье я расскажу, как решать иррациональные неравенства.

Сначала мы рассмотрим решение неравенства вида sqrt{f(x)}< sqrt{g(x)}

Чтобы его решить, нужно обе части неравенства возвести в квадрат и вовремя вспомнить об ОДЗ: подкоренное выражение меньшего из корней должно быть неотрицательным - тогда подкоренное выражение большего корня автоматически будет больше нуля. Таким образом, неравенство вида sqrt{f(x)}< sqrt{g(x)} равносильно системе неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)<g(x)} {f(x)>=0} }}{ }

Практически все сложные иррациональные неравенства, в конечном итоге сводятся к базовым иррациональным неравенствам двух типов.

Иррациональные неравенства первого типа: sqrt{f(x)}<g(x)

Заметим, что в левой части неравенства стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения, следовательно, чтобы неравенство имело решения, правая часть должна быть положительной.

Получаем первое условие: g(x)>0

Чтобы решить неравенство, нам нужно обе части возвести в квадрат.

Получаем второе условие: $f(x)<{(g(x) )}^2$

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому не забываем про ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Получили третье условие: f(x)>=0

Итак, неравенство вида равносильно системе неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{g(x)>0 } { f(x)<{(g(x))}^2} {f(x)>=0}}}{ }$

Аналогично, нестрогое неравенство sqrt{f(x)}<=g(x) равносильно системе неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{g(x)>=0 } { f(x)<={(g(x))}^2} {f(x)>=0}}}{ }$

Иррациональные неравенства второго типа: sqrt{f(x)}>g(x) .

Не смотря на то, что это неравенство с виду похоже на неравенство первого типа, оно принципиально от него отличается.

Поскольку в левой части неравенства стоит квадратный корень, левая часть всегда неотрицательна, поэтому

если , то неравенство выполняется при любом допустимом значении x, то есть при =0" title="f(x)>=0"/>.
если , то мы можем обе части неравенства возвести в квадрат, получим $f(x)>{(g(x))}^2$ , и условие на ОДЗ будет автоматически следовать из этого неравенства.

Итак, неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств:

$delim{[}{matrix{2}{1}{{delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{g(x) <0} { f(x)>=0} }}{ }} {delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{g(x) >=0} {f(x)>{(g(x))}^2 } }}{ }} }}{ }$

Нестрогое неравенство вида sqrt{f(x)}>=g(x) равносильно совокупности:

$delim{[}{matrix{2}{1}{{delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{g(x) <0} { f(x)>=0} }}{ }} {delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{g(x) >=0} {f(x)>={(g(x))}^2 } }}{ }} }}{ }$ .

Рассмотрим примеры решения иррациональных неравенств.

1. Решить неравенство:

$sqrt{x-2}>-x^2+x-2$

Это неравенство второго типа, оно равносильно совокупности двух систем:

$delim{[}{matrix{2}{1}{{delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{-x^2+x-2 <0} {x-2>=0} }}{ }} {delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{-x^2+x-2>=0} {x-2>({-{x}^2+x-2})^2 } }}{ }} }}{ }$

Решим каждое неравенство:

1. -x^2+x-2 <0

x^2-x+2 >0

D=1-8=-7, старший коэффициент больше нуля, следовательно это неравенство верно при любом значении х. Решением первой системы будет решение ее второго неравенства: x≥2.

2. -x^2+x-2 >=0 Очевидно, что это неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся вторая система не имеет решений.

Ответ: x≥2.

2. Решить неравенство:

$sqrt{2x-x^2}<5-x$

Это иррациональное неравенство первого типа, и оно равносильно системе трех неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{5-x>0 } {2x-x^2<{(5-x )}^2} {2x-x^2>=0}}}{ }$

Решим каждое неравенство:

1. 5-x>0

x<5

2. $2x-x^2<{(5-x )}^2$

2x-x^2<25-10x+25

2x^2-12x+25>0

D=144-200<0, следовательно, это неравенство верно при любом значении х.

3. 2x-x^2>=0

x_1=0 , x_2=2

Совместим решения первого и третьего неравенств системы на одной координатной прямой:

Ответ: 0≤ x ≤ 2.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (15) | Метки: решение иррациональных неравенств

Отзывов (15)

Следующие комментарии →

NilufarJane

2014-06-26 в 12:23

КАК МОЖНО СТОЛЬКО ФОРМУЛ СОХРАНИТЬ В ГОЛОВУ

Ответить
- Инна
  
  2014-06-26 в 12:37
  
  Их не нужно сохранять в голове, нужно понять смысл.
  
  Ответить
Иван

2015-07-05 в 10:26

Спасибо за статью, все кратко и понятно!
Вы не подскажите какие jlp имеет смысл писать при избавлении от корней в обоих частях уравнения.
корень из t+5/t равно корень из 6

Ответить
- Инна
  
  2015-07-05 в 12:49
  
  Поскольку при возведении в квадрат получаем t+5/t=6, подкоренное выражение больше нуля при всех значениях х, кот. являются корнями этого уравнения, поэтому ОДЗ учитывается автоматически.
  
  Ответить
Мария

2015-10-17 в 14:58

Здравствуйте! Спасибо за объяснения. Я пыталась решить следующее неравенство: √х+1 (все под корнем) + √12 — х (все под корнем) ≤ 5
Я нашла ОДЗ, возвела все в квадрат, и у меня исчезла переменная. Как правильно решить это неравенство?

Ответить
- Инна
  
  2015-10-17 в 15:21
  
  Вы забыли удвоенное произведение при возведении в квадрат.
  
  Ответить
Катя

2015-12-15 в 15:50

Доброго времени суток, благодарим за статью. Но что, если решать иррациональное уравнение, где подкоренное выражение меньше какого-либо выражения ( в статье-иррациональные выражения первого типа), а в одном из неравенств совокупности будет получаться дискриминант > 0. Тогда будет два корня. Подскажите. пожалуйста, как решить.
Пришла к такому замечанию, решая следущее неравенство :
корень из (2х+1)<х

Ответить
- Инна
  
  2015-12-16 в 18:14
  
  это неравенство равносильно системе:
  
  Ответить
Макс

2016-03-05 в 19:36

Добрый день. Почему в примере номер один, в двух системах совокупности ,с почти что идентичными первыми неравенствами ,не имеющих корней,первая система имеет решение, а вторая нет.

Ответить
- Инна
  
  2016-03-06 в 07:33
  
  Потому что во второй системе первое неравенство не имеет решений, тогда вся система не имеет решений.
  
  Ответить
  - Лера
    
    2016-03-23 в 18:32
    
    Ну почему ? В первом неравенстве дискриминант меньше нуля , во второй системе в первом неравенстве тоже меньше нуля , однако оно не имеет решения
    
    Ответить
    - Инна
      
      2016-03-24 в 13:05
      
      У неравенств разные знаки!
      
      Ответить
Егор

2016-11-04 в 15:24

Подскажите, пожалуйста, почему в неравенстве вида корень(f(x)) 0? Почему нельзя записать не строгое неравенство g(x) >= 0 ?

Ответить
Любовь

2017-10-08 в 21:36

Большое спасибо.Все просто и понятно!

Ответить