Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
05 Фев 2013
06 Задание (2022)ИНТЕГРАЛ

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Задание 7

В этой статье мы будем учиться решать задачи на нахождение площади криволинейной трапеции.

Как всегда, начнем с теории. Как вы помните, неопределенный интеграл  от функции -  это множество всех первообразных F(x):

∫{f(x)dx}=F(x)+C

В неопределенном интеграле не заданы границы интегрирования, и в результате нахождения неопределенного интеграла от функции f(x) мы получаем множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину С.

Если заданы границы интегрирования, то мы получаем определенный интеграл:

int{a}{b}{f(x)dx}

Здесь число a  - нижний предел интегрирования, число b - верхний предел интегрирования. Определенный интеграл - это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:

int{a}{b}{f(x)dx} = F(b)-F(a).

F(a) - это значение первообразной функции f(x) в точке a, и, соответственно, F(b) - это значение первообразной функции f(x) в точке b.

Для нас с точки зрения решения задач важное значение имеет геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке:

 

Зеленая фигура, ограниченая сверху графиком функции y=f(x), слева прямой x=a, справа прямой x=b, и снизу осью ОХ называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл int{a}{b}{f(x)dx} - это число, равное площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченой сверху графиком положительной на отрезке  [a;b] функции y=f(x), слева прямой x=a, справа прямой x=b, и снизу осью ОХ.

Решим задачу из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике. 

Прототип Задания 7 (№ 323080)

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3-27x^2-240x-8 — одна из первообразных функции f(x) . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Закрашенная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), слева прямой x=-10, справа прямой x=-8, и снизу осью ОХ.

Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

S=int{-10}{-8}{f(x)dx} = F(-8)-F(-10), где F(x) - первообразная функции f(x).

По условию задачи F(x)=-x^3-27x^2-240x-8, поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно найти значение первообразной в точке -8, в точке -10, и затем из первого вычесть второе.

Замечу, что в этих задачах очень часто возникают ошибки именно в вычислениях, поэтому советую аккуратно и подробно их записывать, и ничего не считать "в уме".

F(-8)= -(-8)^3-27(-8)^2-240(-8)-8 =512-1728+1920-8=696

F(-10)=-(-10)^3-27(-10)^2-240(-10)-8=1000-2700+2400-8=692

F(-8)-F(-10)=696-692=4 

Ответ: 4

Посмотрите небольшую видеолекцию,  в которой решены все типы задач на первообразную:

 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Задание 7
| Отзывов (9)

Отзывов (9)

  1. Александр
    в 17:19

    В формуле Ньютона-Лейбница правильно F(b)- F(a).
    Ответить
    • Инна
      в 17:38

      Конечно, опечатка.
      Ответить
  2. Ирина
    в 13:57

    Исправьте, пожалуйста в формуле Ньютона- Лейбница
    Ответить
    • Инна
      в 14:42

      Спасибо.
      Ответить
  3. Максим
    в 15:30

    Странноватое задание. Интегралы без вычисления самих интегралов. Какой же тогда в нем смысл
    Ответить
    • Инна
      в 17:24

      Смысл не в вычислениях, а в понимании смысла. На мой взгляд, это очень красивое задание.
      Ответить
  4. Настя
    в 08:39

    Помогите пожалуйста разобраться с неопределенным интегралом
    int наверху 1 внизу 0 (e^(x^3)*x^5)dx
    Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *