Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
18 Апр 2014
13 Задание (2022) (C2)Диагностические работы

Задание С2 из пробника ЕГЭ С-Петербург 15.04.2014

Отрезок AC - диаметр основания конуса, отрезок AP - образующая этого конуса и AP=AC. Хорда основания BC составляет с прямой AC угол 60^{circ}. Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.

Сделаем чертеж.

AC - диаметр основания конуса, его длина равна двум радиусам и равна 2. AP=AC=2, следовательно, треугольник APC - равносторонний.

Проведем хорду основания BC, которая составляет с прямой AC угол 60^{circ}

Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Проведем через точку A прямую AK, параллельную BC. Угол между прямой AK и прямой AC также равен 60^{circ}:

APK - искомое сечение: AK||BC, следовательно, плоскость APK параллельна прямой BC.

Нам нужно найти расстояние от точки O до плоскости APK, то есть опустить из точки O перпендикуляр на плоскость APK и найти его длину.

Пусть точка L - середина AK.

PL{ortho}AK, т.к треугольник APK равнобедренный и BL{ortho}AK, так как треугольник AOB равнобедренный.

Следовательно, плоскость LOP перпендикулярна плоскости APK:

Опустим из точки O перпендикуляр ON на LP:

Это и есть искомое расстояние.

Чтобы найти длину отрезка ON рассмотрим треугольник LPO.

PO найдем из треугольника AOP: PO=sqrt{2^2-1^2}=sqrt{3}

OL найдем из треугольника AKO:

OL=OK*sin{60^{circ}}={sqrt{3}}/2

PL=sqrt{OL^2+OP^2}=sqrt{3/4+3}=sqrt{15}/2

Чтобы найти высоту ON выразим два раза площадь треугольника LPO:

S=1/2(OP*OL)=1/2(PL*ON)

ON={sqrt{3}*sqrt{3}/2}/{sqrt{15}/2}=3/{sqrt{15}}

Ответ: 3/{sqrt{15}}
И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Задание С2 из пробника ЕГЭ С-Петербург 15.04.2014
| Отзывов нет

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *