Досрочный ЕГЭ 2015. Задание 17

Решите неравенство:

1. Приведем логарифмы к одному основанию. Для этого записываем деятичную дробь в виде обыкновенной: , а затем выносим показатель степени за знак логарифма.

2. Введем замену переменной. Пусть

Получим квадратное уравнение относительно :

По теореме Виета найдем корни квадратного трехчлена:

Нанесем эти точки на числовую ось и расставим знаки. Так как старший коэффициент квадратного трехчлена больше нуля, ветви параболы направлены вверх, получаем такие знаки:Неравенство строгое, поэтому точки "выкалываем".

Нас интересует промежуток, на котором трехчлен больше нуля:

Итак, мы получили, что или 

Вернемся к исходной переменной. Получим:

(1)

или  (2)

Решим первое неравенство:

Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2 и перейдем к равносильной системе (не забываем, что выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть строго больше нуля):

Основание логарифма больше единицы, поэтому при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма знак неравенства сохранятся.

Чтобы решить систему неравенств, нужно решить каждое неравенство системы на своей координатной прямой, а потом совместить решения не одной координатной прямой.

Итак.

Корни квадратного трехчлена в левой части неравенства:

Ветви параболы направлены вниз, поэтому знаки:

Корни квадратного трехчлена в левой части неравенства:

Ветви параболы направлены вниз, поэтому знаки:

Совместим решения неравенств на одной координатной прямой:

Итак, решение  неравенства (1):

Решим неравенство (2):

Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2.

Основание логарифма больше единицы, поэтому при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма знак неравенства сохранятся.

Условие на ОДЗ следует из этого неравенства.

Перенесем все слагаемые вправо и приведем подобные члены. Получим:

При отрицательном дискриминанте при любом значении выполняется неравенство , поэтому неравенство не имеет решений.

Итак, ответом к исходному неравенству будет решение неравенства (1):

Ответ:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.