Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых система
имеет ровно два решения.
Решение.
Посмотрим внимательно на систему. Заметим, что если мы поменяем местами 
и 
, то система от этого не изменится. Системы такого рода называются симметрическими, и если пара (x;y) является решением симметрической системы, то пара (y;x) также будет решением этой системы. Следовательно, должно быть только одно значение и соответствующее ему значение , которые являются решением системы. В этом случае система будет иметь ровно два решения: (x;y) и (y;x) (!)
В первом уравнении отсутствует параметр, и из него мы можем получить соотношение между и .
Перенесем 
влево.
Разделим обе части на 
в предположении, что 
. (Если 
, то 
, в этом случае для пары (0,0) мы не можем получить симметричную ей, и не можем получить ровно два решения.)
Решим квадратное уравнение относительно 
и получим
или 
Отсюда 
или 
Рассмотрим первый случай: . Подставим во второе уравнение системы. Получим:
Просматривается квадратное уравнение относительно . Нас интересует, при каких значениях это уравнение имеет единственно решение. (см. (!))
Квадратное уравнение имеет единственное решение, если 
Отсюда:
Если 
, то и соответственно - этот случай нам не подходит.
То есть 
Второй случай: абсолютно аналогичен первому.
Ответ: 
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Спасибо большое! Ход решения мне был понятен и приятен!