Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых система
имеет ровно два решения.
Решение.
Посмотрим внимательно на систему. Заметим, что если мы поменяем местами 
и 
, то система от этого не изменится. Системы такого рода называются симметрическими, и если пара (x;y) является решением симметрической системы, то пара (y;x) также будет решением этой системы. Следовательно, должно быть только одно значение и соответствующее ему значение , которые являются решением системы. В этом случае система будет иметь ровно два решения: (x;y) и (y;x) (!)
В первом уравнении отсутствует параметр, и из него мы можем получить соотношение между и .
Перенесем 
влево.
Разделим обе части на 
в предположении, что 
. (Если 
, то 
, в этом случае для пары (0,0) мы не можем получить симметричную ей, и не можем получить ровно два решения.)
Решим квадратное уравнение относительно 
и получим
или 
Отсюда 
или 
Рассмотрим первый случай: . Подставим во второе уравнение системы. Получим:
Просматривается квадратное уравнение относительно . Нас интересует, при каких значениях это уравнение имеет единственно решение. (см. (!))
Квадратное уравнение имеет единственное решение, если 
Отсюда:
Если 
, то и соответственно - этот случай нам не подходит.
То есть 
Второй случай: абсолютно аналогичен первому.
Ответ: 
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Красивое решение!
Мне так же по душе графический метод (первое уравнение раскладываем на множители и получаем 2 прямые, а окружности с центрами на прямой х=у их должны касаться. Хотя, конечно, все очень похоже :). Огромное спасибо за рассылку!
Я тоже больше люблю графический метод. Но в этой задаче мне кажется так проще.
мне больше нравиться графический способ. Он наглядней и, мне кажется, доступней. Хотя Ваше объяснение логично, красиво.
Обьясните пожалуйста там, где D/4. Дэ — это что? Дискриминант? 0_o
Если в квадратном уравнении второй коэффициент четный, то корни удобно считать по такой формуле:
здесь, как несложно видеть, выражение
Ааа, поняял:)
Спасибо, Инна Владимировна! Ваше решение сохраню в своей методической копилке!Только вот интересно, наши дети знают понятие симметрической системы?
Думаю, что те, кто приступает к С5 должны знать) Дала ссылку на объяснение решения систем нелинейных уравнений.
Инна Владимировна,здравствуйте!
Объясните мне,пожалуйста,действие,где D/4.
Я не очень понимаю,как решить уравнение по формуле,которую Вы написали в комментариях.
Заранее спасибо!
Можно найти D и приравнять к нулю, получатся те же корни.
Извините за такой глупый вопрос,в уравнении я за с принимаю 2а^2-5а^4?
Да, все, что без х — это с.
Огромное спасибо!
Уважаемая Инна,огромное спасибо за помощь, очень красивое понятное решение,в отличии от предложенного в критериях.
Можно ли рассмотреть первое уравнение как квадратное относительно х (либо y)?
Т.е. решить уравнение 2y^2 — 5xy + 2x^2 = 0 относительно y? Такие же соотношения получаются….
Да, конечно.