Интересные задачи на квадратичную функцию

Пусть квадратный трехчлен имеет вид

Тогда уравнение имеет вид , или (1)

И уравнение имеет вид , или (2)

Надо доказать, что уравнение не имеет решений, то есть уравнение (3) не имеет решений.

Квадратное уравнение имеет единственное решение, если  , и не имеет решений, если .

Для уравнение (1) , по условию задачи (4)

Для уравнения (2) , по условию задачи (5)

Нам нужно доказать, что

Преобразуем равенства (4) и (5):

  или (6)

  или (7)

Умножим равенство (7) на 2 и сложим с равенством (6)

Получим ,  отсюда

Что и требовалось доказать.

Графическое решение.

Парабола   имеет с прямыми  и одну общую точку, то есть касается этих прямых. Это возможно в следующих случаях:

Очевидно, что в обоих случаях парабола не пересекает ось ОХ, следовательно, уравнение не имеет решений.

Пусть уравнение прямой , уравнение параболы .

Точки - корни уравнения , то есть уравнения

точка - точка пересечения прямой   с осью ОХ.

То есть нужно доказать, что

Воспользуемся теоремой Виета.

Теорема Виета используется при решении задач, в которых присутствует  квадратный трехчлен, но нужно найти не корни квадратного трехчлена, а их соотношение.

Теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Для уравнения справедливо:

Запишем теорему Виета для уравнения :

Тогда

Что и требовалось доказать.

Введем систему координат с центром в точке пересечения осей симметрии.

Пусть в этой системе координат уравнение синей параболы имеет вид

а уравнение красной параболы имеет вид   

При этом и .

Координаты точек  пересечения парабол удовлетворяют системе уравнений:

Уравнение окружности в общем случае имеет вид:

где - координаты центра окружности, а  - ее радиус.

Попытаемся из этой системы получить уравнение окружности.

Разделим первой уравнение системы на ,  а второе на :

Сложим уравнения системы. Получим уравнение:

Координаты точек  пересечения парабол должны удовлетворять этому уравнению.

Получим уравнение окружности, для этого перенесем все слагаемые в одну стороны и выделим полные квадраты:

Получаем:

,  где

Мы получили уравнение окружности, следовательно, точки пересечения данных парабол лежат на одной окружности.

Пусть уравнение прямых и  - так как прямые параллельны, то их коэффициенты наклона равны.

  и  -  абсциссы точек пересечения прямой   и параболы , то есть корни уравнения , или уравнения 

  и  -  абсциссы точек пересечения прямой   и параболы , то есть корни уравнения , или уравнения

Надо доказать, что

Перепишем это равенство в виде

Из уравнения (8) по теореме Виета получаем:

Аналогично из уравнения (9) по теореме Виета получаем:

таким образом, и, следовательно, . Что и требовалось доказать.

Рассмотрим две параболы, симметричные относительно оси OY. В силу симметрии, окружности, проходящие через точки пересечения этих парабол с осями координат также симметричны относительно оси OY:

Следовательно, точки пересечения окружностей лежат на оси OY. Точка В лежит на параболах, и ее положение зависит от уравнения параболы. Следовательно, нас интересует точка А. Пусть координаты точки . Найдем .

Рассмотрим параболу вида . Она пересекает ось ОХ в точках с координатами и , где и - корни уравнения .

Парабола пересекает ось OY в точке B(0;c), причем по теореме Виета

Теперь воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд:

Отсюда   

Итак, все окружности пересекаются в точке