Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 28.
Решение.
По условию отношение диагоналей параллелограмма равно 28, 
.
Пусть 
, тогда 
. (1)
Точка 
- точка пересечения диагоналей параллелограмма. Из соображений симметрии диагонали ромба пересекаются в этой же точке. То есть отрезок 
- половина диагонали 
ромба. Вспомним, что диагонали ромба являются биссектрисами углов. Этот факт нам понадобится в дальнейшем.
Рассмотрим треугольник 
.
Так как стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма, четырехугольник 
- параллелограмм. 
; 
- биссектриса углов 
и 
.
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Так как - биссектриса треугольника , 
:
Из подобия треугольников 
и 
следует, что 
, отсюда 
. Тогда из соотношения (1) выразим сторону ромба:
Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:
Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны и синуса угла между сторонами, то есть
Ответ: 
И. В. Фельдман, репетитор по математике.
Абалдеть…какая ж непростая задача…
Очень красиво, но к сожалению ответ неверный. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, и эта половина не учитывалась! Правильный ответ
56/841. Кстати общее решение для задач этого типа 2k/(1+k)^2 , где к — отношение диагоналей.
С Уважением Пётр.
Большое спасибо! Исправила.