ДВИ в МГУ, 14.07.2107. Вариант 2, задача 6. Текстовая задача.
Анатолий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта 
нужно добраться вверх по реке до пункта 
, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Анатолий вызвался самостоятельно доехать до пункта на самом быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта . Однако, промчавшись 
км, Анатолий заметил на берегу машущего ему рукой Бориса, который просил по старой дружбе довезти его до пункта 
. И хоть пункт Анатолий уже проехал, он согласился. По пути в пункт Анатолий с Борисом встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Анатолия, откуда те крикнули, что пункт уже совсем близко, и чтобы Анатолий нигде не задерживался. Доставив Бориса в пункт , Анатолий немедленно помчался догонять друзей. Определите, какую долю пути оставалось пройти друзьям Анатолия от момента встречи с ним и Борисом, если известно, что оба катера пришли в пункт одновременно, расстояние между пунктами и равно 2 км, скорости катеров постоянны, а Анатолий действительно нигде не задерживался.
Решение. показать
Сделаем рисунок:
В пункте 
встретились Анатолий и Борис, в пункте 
Анатолий с Борисом встретили друзей Анатолия.
Пусть расстояние между пунктами и равно 
, и пусть расстояние между пунктами и составляет 
- ю часть всего пути.
Пусть скорость катера Анатолия по течению равна 
, скорость катера друзей Анатолия равна 
, скорость течения равна 
, тогда скорость катера Анатолия против течения равна 
.
Составим уравнения для описания встречи в пункте и в пункте .
До встречи Анатолия с Борисом с друзьями Анатолия в пункте Анатолий проплыл путь, равный 
; 
.
Участок 
Анатолий проплыл по течению, а участок 
- против.
За это время друзья Анатолия на втором катере проплыли путь 
Анатолий и друзья Анатолия были в пути одинаковое время.
Получаем уравнение:
До встречи с друзьями в пункте Анатолий проплыл путь, равный 
по течению и участок 
против течения.
Друзья Анатолия за это время пропыли путь .
Получаем второе уравнение:
Получили систему уравнений:
Вычтем из второго уравнения первое.
Получим уравнение:
Получим систему:
Приведем правые части уравнений к общему знаменателю:
Разделим первое уравнение на второе:
Умножим обе части на знаменатель,
получим:
Ответ:
2 способ.
После того, как мы выразили длины отрезков пути через и , задачу можно было решить другим способом.
Нарисуем график движения:
Зеленая ломаная изображает движение катера Анатолия. Участки и 
- движение по течению с постоянной скоростью. Эти участки изображены параллельными отрезками. Участок - движение против течения.
Красная прямая изображает движение катера друзей Анатолия. Катер двигался с постоянной скоростью в одном направлении.
Точки и - точки встречи катера Анатолия и катера его друзей. Длины участков 
и мы нашли ранее.
Рассмотрим треугольники 
и 
. Они подобны по двум углам (
как накрест лежащие,
как вертикальные), следовательно,
Подставим длины участков пути:
По свойству пропорции получим:
Разделим обе части равенства на 
:
Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике
нужно добраться вверх по реке до пункта 
, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Анатолий вызвался самостоятельно доехать до пункта 
км, Анатолий заметил на берегу машущего ему рукой Бориса, который просил по старой дружбе довезти его до пункта 
. И хоть пункт 
часов в неделю, то за эту неделю они производят 
единиц товара. Если рабочие на заводе, расположенном во втором городе трудятся суммарно 
единиц товара.
часов в неделю, тогда они произвели 
единиц товара.
часов в неделю, тогда они произвели 
единиц товара.
часов в неделю, и Владимир должен им заплатить 
рублей.
через 
:
