СТЕРЕОМЕТРИЯ – Репетитор по математике

Рубрика: СТЕРЕОМЕТРИЯ

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2017-02-01

01 Фев 2017

13 Задание (2022) (C2)Диагностические работыСТЕРЕОМЕТРИЯ

Тренировочная работа от 26.01. 2017. Задание 14

Задание 14. Точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - середины ребер $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ куба $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и перпендикулярной прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если ребро куба равно $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение. показать

141

Докажем перпендикулярность прямых $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ с помощью метода координат. Введем систему координат и докажем перпендикулярность векторов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Вектора $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - направляющие вектора прямых $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Если направляющие вектора прямых перпендикулярны, то перпендикулярны и сами прямые.

121

Пусть сторона куба равна $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Запишем координаты точек:

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Теперь найдем координаты векторов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора вычитаем координаты начала):

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Найдем скалярное произведение векторов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Итак, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

б) Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и перпендикулярной прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Прямая перпендикулярна плоскости, если он перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Проведем в грани $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , перпендикулярную $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Поскольку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (из доказанного) и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (по построению), $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ перпендикулярна плоскости, содержащей прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

122

Проведем эту плоскость:

123

Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения плоскостей параллельны. Так как основания куба параллельны, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Следовательно, точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - середина ребра $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - параллелограмм.

Докажем, что четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - прямоугольник.

Ребро $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ перпендикулярно грани $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой грани, в частности, прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . То есть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Следовательно, сечение $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - прямоугольник.

Найдем площадь сечения.

По условию, ребро куба равно 4.

Тогда по теореме Пифагора из треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Ответ: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов нет

2016-12-13

13 Дек 2016

13 Задание (2022) (C2)СТЕРЕОМЕТРИЯ

Задание 14 из т/р №164 А. Ларина

В этой статье вы найдете решение задачи по стереометрии из тренировочной работы №164 А. Ларина.

В основании прямой призмы $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ лежит ромб $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ с диагоналями $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Боковое ребро $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ равно $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . На ребре $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ отмечена точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ так, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

а) Докажите, что прямая $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ перпендикулярна плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

б) Найдите объем пирамиды $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение.

показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Инна | Один отзыв

2016-07-29

29 Июл 2016

МГУ, ДВИСТЕРЕОМЕТРИЯ

Задача по стереометрии. ДВИ МГУ, 2015

В этой статье мы рассмотрим решение задачи по стереометрии из ДВИ в МГУ, 2015 г.

В правильную треугольную призму с основаниями $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и ребрами $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ вписана сфера. Найдите ее радиус, если известно, что расстояние между прямыми $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ равно $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , где $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - точки, лежащие на $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ соответственно, и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение. показать

Сразу заметим, что если в правильную призму вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы, а высота призмы равна диаметру этой окружности.

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно провести плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй прямой. А затем найти расстояние от любой точки второй прямой до этой плоскости.

Проведем плоскость, содержащую прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и параллельную прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Проведем через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Затем через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ проведем прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Плоскость $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельна плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ проведем прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - прямоугольник, отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Отметим на отрезке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ так, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Так как по условию $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - середина $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - параллелограмм, отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - параллелограмм и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Следовательно плоскость, проходящая через точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ содержит прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и параллельна прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Построим сечение пирамиды этой плоскостью. Проведем прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до пересечения с ребром $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Так как точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - середина отрезка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , она лежит на медиане треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , проведенной из точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Кроме того, точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ делит эту медиану в отношении $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , считая от вершины. (По теореме Фалеса.) Следовательно точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - точка пересечения медиан треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , и отрезок $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - медиана треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Проведем через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ прямую, параллельную $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым), и получим сечение пирамиды плоскостью $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

Вы можете отследить по шагам построение сечения, а также повращать пирамиду и исследовать ее с разных ракурсов:

Так как прямая $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельна плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , расстояние от любой точки этой прямой до плоскости равно расстоянию между прямыми $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , и по условию равно $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Найдем радиус вписанной сферы.

Введем декартову систему координат и найдем расстояние от точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Пусть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , тогда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ ,

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ высоты треугольника),

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Расстояние от точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ равно $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Выпишем координаты точек $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Уравнение плоскости имеет вид $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Так как плоскость проходит через начало координат, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Подставим координаты точек $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в уравнение плоскости. Получим систему:

Решение задач на сайте www.ege-ok.ru

Отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Подставим в уравнение $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Разделим на $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и получим уравнение плоскости:

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Расстояние от точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ находится по формуле:

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

В нашем случае $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ ,

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Ответ: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

И.В. Фельдман, репетитор по математике. Квадратичная функция и ее график

Инна | Отзывов нет

2016-07-23

23 Июл 2016

МГУ, ДВИСТЕРЕОМЕТРИЯ

Задача по стереометрии. ДВИ МГУ 2016

В основании правильной пирамиды с вершиной $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ лежит шестиугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ со стороной 14. Плоскость $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельна ребру $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , перпендикулярна плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и пересекает ребро $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , так что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Кроме того, прямые, по которым $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ пересекает плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ от грани $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение. показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике. Квадратичная функция и ее график

Инна | Отзывов (7)

2016-06-18

18 Июн 2016

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Учимся строить сечения многогранников. Часть 1

Учимся строить сечения многогранников.

В этой статье я предлагаю вам самостоятельно построить сечения многогранника, проходящее через точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Каждое задание сопровождается видео с пошаговым построением сечения. Продолжение статьи читайте здесь.

Инна | Отзывов (3)

2015-11-29

29 Ноя 2015

13 Задание (2022) (C2)СТЕРЕОМЕТРИЯ

Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Эта статья для тех, кто хочет научиться строить сечения. Она содержит 11 заданий для построения сечений, подсказки и ответы к каждому заданию. Рекомендую сначала прочитать эту статью и посмотреть это видео. Далее

Инна | Отзывов (25)

2014-10-27

27 Окт 2014

13 Задание (2022) (C2)СТЕРЕОМЕТРИЯ

Как построить чертеж в стереометрической задаче

При построении чертежа в стереометрической задаче мы изображаем объемную фигуру с помощью плоского чертежа. Мы это делаем с помощью параллельного проектирования.

Если вы знаете, что такое театр теней, то легко поймете, что такое параллельное проектирование. Далее

Инна | Отзывов (6)

« Назад 1 2

Репетитор по математике

Видеокурсы Инны Фельдман

Рубрики

Рубрика: СТЕРЕОМЕТРИЯ

Тренировочная работа от 26.01. 2017. Задание 14

Задание 14 из т/р №164 А. Ларина

Задача по стереометрии. ДВИ МГУ, 2015

Задача по стереометрии. ДВИ МГУ 2016

Учимся строить сечения многогранников. Часть 1

Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Как построить чертеж в стереометрической задаче

ПАРОЛЬ ДЛЯ БИБЛИОТЕКИ 010101

Подпишитесь на рассылку сайта и ВЫБЕРИТЕ В ПОДАРОК ЛЮБУЮ ВИДЕОЛЕКЦИЮ!

репетитор по информатике

Видеокурсы Анны Малковой.

Рекомендую:

Последние записи

архив записей