Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2016-07-29

Главная » СТАТЬИ » МГУ, ДВИ » Задача по стереометрии. ДВИ МГУ, 2015

29 Июл 2016

МГУ, ДВИСТЕРЕОМЕТРИЯ

Задача по стереометрии. ДВИ МГУ, 2015

В этой статье мы рассмотрим решение задачи по стереометрии из ДВИ в МГУ, 2015 г.

В правильную треугольную призму с основаниями $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и ребрами $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ вписана сфера. Найдите ее радиус, если известно, что расстояние между прямыми $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ равно $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , где $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - точки, лежащие на $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ соответственно, и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение. показать

Сразу заметим, что если в правильную призму вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы, а высота призмы равна диаметру этой окружности.

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно провести плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй прямой. А затем найти расстояние от любой точки второй прямой до этой плоскости.

Проведем плоскость, содержащую прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и параллельную прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Проведем через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Затем через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ проведем прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Плоскость $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельна плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ проведем прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - прямоугольник, отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Отметим на отрезке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ так, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Так как по условию $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - середина $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - параллелограмм, отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - параллелограмм и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Следовательно плоскость, проходящая через точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ содержит прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и параллельна прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Построим сечение пирамиды этой плоскостью. Проведем прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до пересечения с ребром $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Так как точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - середина отрезка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , она лежит на медиане треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , проведенной из точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Кроме того, точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ делит эту медиану в отношении $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , считая от вершины. (По теореме Фалеса.) Следовательно точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - точка пересечения медиан треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , и отрезок $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - медиана треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Проведем через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ прямую, параллельную $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым), и получим сечение пирамиды плоскостью $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

Вы можете отследить по шагам построение сечения, а также повращать пирамиду и исследовать ее с разных ракурсов:

Так как прямая $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельна плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , расстояние от любой точки этой прямой до плоскости равно расстоянию между прямыми $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , и по условию равно $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Найдем радиус вписанной сферы.

Введем декартову систему координат и найдем расстояние от точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .