Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Все, что нужно знать о треугольнике

При решении геометрических  задач полезно следовать такому алгоритму. Во время чтения условия задачи необходимо

  • Сделать чертеж. Чертеж должен максимально соответствовать условию задачи, так его основная задача помочь найти ход решения
  • Нанести все данные из условия задачи на чертеж
  • Выписать все геометрические понятия, которые встречаются в задаче
  • Вспомнить все теоремы, которые относятся к этим понятию
  • Нанести на чертеж все соотношения между элементами геометрической фигуры, которые следуют из этих теорем

Например, если в задаче встречается слова биссектриса угла треугольника, нужно вспомнить определение и свойства биссектрисы  и обозначить на чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.

В этой статье вы найдете основные свойства треугольника, которые необходимо знать для успешного решения задач.

Итак.

ТРЕУГОЛЬНИК.

Площадь треугольника.

1. S={1/2}{a}{h_a},

здесь a - произвольная сторона треугольника, h_a  - высота, опущенная на эту сторону.

2. S={1/2}{a}{b}sin{gamma},

здесь a   и b - произвольные стороны треугольника, gamma - угол между этими сторонами:

3.  Формула Герона:

S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

 - здесь {a},{b},{c} -  длины сторон треугольника, p  - полупериметр треугольника, p={a+b+c}/2

4. S={p}{r},

здесь p - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной окружности.

Пусть - длины отрезков касательных.

Тогда формулу Герона можно  записать в таком виде:

5. S=sqrt{{xyz}{(x+y+z)}}

6. S={{a}{b}{c}}/{4R},

здесь {a},{b},{c}  - длины сторон треугольника, R   -  радиус описанной окружности.

Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:

 {S_1}/{S_2}=m/n  

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Медиана треугольника

- это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка,  меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший - радиусу описанной окружности.

Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: R=2r

Длина медианы произвольного треугольника вычисляется по формуле:

m_a={1/2}sqrt{2b^2+2c^2-a^2},

здесь m_a - медиана, проведенная к стороне a{a},{b},{c}  - длины сторон треугольника.

Биссектриса треугольника

- это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

{BD}/{DC}={AB}/{AC}

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.

Высота треугольника

- это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение.  В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника, проведенную к стороне b, нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой:

h_b={2S}/b

 

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам:

R={{a}{b}{c}}/{4S}

- здесь {a},{b},{c}  - длины сторон треугольника, S - площадь треугольника.

R={a}/{2sin{alpha}},

где a - длина стороны треугольника,  {alpha} - противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.

Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны:

a+b>c 

Напротив большей стороны лежит больший угол; напротив большего угла лежит большая сторона:

Если a<b<c , то {alpha}<{beta}<{gamma} и наоборот.

Теорема синусов:

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

 

{a}/{sin{alpha}}={b}/{sin{beta}}={c}/{sin{gamma}}=2R

Теорема косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

a^2=b^2+c^2-2{c}{b}cos{alpha}

Прямоугольный треугольник

- это треугольник, один из углов которого равен 90°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна  90°.

Гипотенуза  - это сторона, которая лежит против угла 90°. Гипотенуза является наибольшей стороной.

 

Теорема Пифагора:

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетовc^2=a^2+b^2

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

r= {a+b-c}/2,

здесь r - радиус вписанной окружности, {a},{b} - катеты, c - гипотенуза:

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:

R=c/2

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Определение синуса, косинуса , тангенса и котангенса прямоугольного треугольника смотрите  здесь.

Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

{h_c}^2={a_c}{b_c}

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:

a^2={c}{}{a_c}

b^2={c}{}{b_c}

{h_c}={ab}/c:

 Катет, лежащий против угла 30^{circ} равен половине гипотенузы:

BC=2AC

 

Равнобедренный треугольник.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

B - угол при вершине.

AB и  BC - боковые стороны, AB=BC

A  и B- углы при основании. A =B

BD - высота, биссектриса и медиана.

Внимание! Высота, биссектриса и медиана, проведенные к боковой стороне не совпадают.

 

 

Правильный треугольник

(или равносторонний треугольник) - это треугольник, все стороны и углы которого равны между собой.

Площадь правильного треугольника равна

S={a^2{sqrt{3}}}/4,

где a - длина стороны треугольника.

Центр окружности, вписанной в правильный треугольник, совпадает с центром окружности, описанной около правильного треугольника и лежит в точке пересечения медиан.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка,  меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший - радиусу описанной окружности.

Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник правильный.

 

Средняя линия треугольника

- это отрезок, соединяющий середины двух сторон.

На рисунке DE - средняя линия треугольника ABC.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AC,  AC=2DE

 

Внешний угол треугольника

- это угол, смежный какому либо углу треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

Тригонометрические функции внешнего угла:

   

   

   

Признаки равенства треугольников:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

Важно: поскольку в прямоугольном треугольнике два угла заведомо равны, то для равенства двух прямоугольных треугольников требуется равенство всего двух элементов: двух сторон, или стороны и острого угла.

 

Признаки подобия треугольников:

1. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.

2. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

3. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Важно: в подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов.

Теорема Менелая

Пусть прямая пересекает треугольник ABC, причем C_1  – точка ее пересечения со стороной  AB,  A_1  – точка ее пересечения со стороной BC, и  B_1 – точка ее пересечения с продолжением стороны  AC. Тогда

{{AC_1}/{C_1 {B}}}*{{BA_1}/{A_1 {C}}}*{{CB_1}/{B_1 {A}}}=1

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Все, что нужно знать о треугольнике

Отзывов (98)

  1. ИРИНА

    Дорогой Вы наш помощник. С большим удовольствием смотрю ваши лекции и объяснения к задачам. Благодаря такой вашей подготовке мы ( я-бабушка и моя внучка) держимся на плаву. Но никак не могу решить задачу (запуталась) Если у вас есть такая возможность дать подсказку, подтолкнуть на нужную мысль, буду очень вам благодарна.
    Высота прямуг треугольника Н=5 проведена к гипотенузе, а расстояние от вершины прям угла к точке пересечения бисектрисы меньшего острого угла с меньшим катетом равно В=7.Найти меньший катет.
    Буду очень вам признательна.

    • Инна

      Нужно воспользоваться теоремой о биссектрисе угла: Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. А потом дважды выразить площадь: через произведение катетов и высоту на гипотенузу. Но там что-то не так с данными.

  2. Мария

    Скажите , если один угол треугольника в 2 раза больше другого угла этого же треугольника , то лежащая напротив первого угла сторона будет в 2 раза больше напротив лежащей стороны другого угла?Или нет?

    • Инна

      Нет, по теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а не самим углам.

  3. Николай

    Здравствуйте!
    в разделе: Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике.
    Вы указываете проекцию катета a на гипотенузу с как c с индексом а. Разве не наоборот должно быть a с индексом c?
    Тоже самое и с катетом b

    • Инна

      Да, конечно. Спасибо!

  4. Инна

    Спасибо, изменила)

  5. тамара

    помогите пожалуйста доказать, что если стороны треуг. а, в и с и угол А в 3 раза больше угла В, то выполняется соотношение вс2 — (а2 — в2) (а — в)=0

  6. Кулик светлана

    Добрый день, помогите пожалуйста . Прямая опушена на плоскость длина 5 см и вторая прямая 7 см см. Проекция первой 4 см . Какая проекция второй прямой?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *