Рассмотрим решение Задания 16 из Тренировочной работы МИОО 18 декабря 2015 года.
В треугольник 
вписана окружность радиуса 
, касающаяся стороны 
в точке 
, причём 
и 
.
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что 
.
Точка 
- центр вписанной окружности, она лежит в точке пересечения биссектрис. Обозначим равные углы одинаковыми буквами: 
Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, отрезок 
перпендикулярен .
Из прямоугольного треугольника 
получим 
Из прямоугольного треугольника получим 
Проверим, не являются ли углы 
или 
прямыми.
(1)
(2)
Так как 
, ни угол , ни угол не являются прямыми. Следовательно, это могут быть только острые углы прямоугольного треугольника.
Докажем, что 
.
Найдем 
(из (1))
(из (2))
Тогда 
, следовательно, и по теореме о сумме углов треугольника 
.
То есть треугольник - прямоугольный.
Заметим, что 
- таким свойством обладают острые углы прямоугольного треугольника, и мы могли бы сделать вывод о том, что треугольник - прямоугольный на основе этого факта.
2.Найдем расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что .
Сделаем новый уточненный чертеж. Отметим, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы. Обозначим его 
Расстояние 
найдем из прямоугольного треугольника 
Ответ: 
Презентация, подготовленная Медведевой Галиной
Здравствуйте! В первой части задачи доказывается, что угол С является прямым, а во второй части на чертеже сделан прямым угол В. Получается какая-то неувязочка?! Тем более, что решается задача с условием то, что АС является гипотенузой, так как взят радиус описанной окружности, который, как мы знаем, в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы. В таком случае первая часть задачи некорректна.
Конечно, спасибо большое, опечатка. Имеется в виду не угол В, а угол С.
У Вас все верно.Угол В-прямой,С острый.tg2a+2b=бесконечности:угол В- прямой.
У Вас все верно:угол В прямой. tg2a+2b =бесконечности,угол В=90.
Я уже исправила)
Уважаемая Инна, спасибо за пересланные задачи. Мне очень понравилось Ваше «качественное» решение (то есть второй способ). Я решил именно так. По моей практике, современные ученики путаются в формулах тангенса, а через синус и косинус задача решается на раз-два-три. Во-вторых, я думаю, что это скорее тренировочная задача, поскольку её уровень не соответствует С4. Меня также очень интересует Ваше мнение о задаче по «экономике». Обещаю написать об этом Вам в личку.
С Уважением, МР
«Экономическая» задача была какая-то совсем примитивная, я ее даже публиковать не стала)
Уважаемая Инна, добрый вечер! Раз требуется доказать, что треугольник прямоугольный, значит, он таковым и является. И должно выполняться всё, что положено выполняться в прямоугольном треугольнике, в том числе и теорема Пифагора. Если воспользоваться равенством касательных, проведенных из одной точки, и сделать чертеж с прямым углом С, то касательные из этой точки будут равны R. И получается египетский треугольник( с учетом R)!
Да, точно! Большое спасибо!