Знаки коэффициентов квадратного трехчлена.
В этой статье я расскажу, как по графику квадратичной функции найти знаки коэффициентов квадратного трехчлена.
Чтобы определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена по графику квадратичной функции , нужно вспомнить теорему Виета.
Согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.
Квадратное уравнение называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице.
Чтобы уравнение стало приведенным, нужно обе части уравнения разделить на старший коэффициент. Получим приведенное уравнение . Для него справедливы соотношения:
И эти же соотношения справедливы для уравнения
По графику квадратичной функции мы легко можем определить знак коэффициента - если ветви параболы направлены вверх, то , а если вниз, то .
Также по графику легко определяются знаки корней (корни квадратного трехчлена - это абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс), а также знак корня с большим модулем.
Если оба корня положительны, то .
Если оба корня отрицательны, то .
Если корень с большим модулем положителен, то .
Если корень с большим модулем отрицателен, то .
Если корни имеют одинаковые знаки, то .
Если корни имеют разные знаки, то .
Во всех случаях, определив знак коэффициента по направлению ветвей параболы, мы легко найдем знаки коэффициентов и
Рассмотрим примеры.
1. Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена , если график функции имеет вид:
1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, .
2. Корни имеют одинаковые знаки, следовательно, их произведение положительно: . Так как , следовательно, .
3. Оба корня отрицательны, следовательно, их сумма отрицательна: . Так как , следовательно, .
Ответ: , , .
2. Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена , если график функции имеет вид:
1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, .
2. Корни имеют разные знаки, следовательно, их произведение отрицательно: . Так как , следовательно, .
3. Корень с большим модулем положителен, следовательно, сумма корней положительна: . Так как , следовательно, .
Ответ: , , .
Замечание: - ордината точки пересечения параболы с осью , поэтому знак можно определить сразу.
а если парабола не пересекает ох как найти х
Если парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в двух точках, то существует два корня (как в примере)
Если парабола пересекает ось абсцисс в одной точке (касается ее), то существует один корень
Если парабола вообще не пересекает ось абсцисс, то корней нет