В этой статье мы рассмотрим задачу с параметром, решение которой основано на использовании ограниченности функции. Решение похожей задачи смотрите здесь.
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных значений .
Решение. показать
Преобразуем исходное уравнение к виду:
.
Структура этого уравнения такова:
.
Уравнения такого типа решаются с помощью введения вспомогательного угла:
, где (1)
В силу ограниченности функции уравнение (1) имеет решения, если .
Используем этот факт при решении задачи.
В нашем случае:
Так как получим ограничения на параметр:
Решим это неравенство. Возведем обе части в квадрат и умножим на знаменатель:
Разделим обе части на :
Отсюда .
или
Тогда или .
Рассмотрим два случая:
1)
Тогда
,
В этом случае получим уравнение:
Умножим обе части на и разделим на . Получим:
2)
Тогда
,
В этом случае получим уравнение:
Умножим обе части на и разделим на . Получим:
.
Итак, получили
Ответ: при , ;
при , .
И. В. Фельдман, репетитор по математике.
Красивое, даже ювелирное решение. А можно ли эту задачу как-то по-другому решить?
Может быть и можно, но другое решение в голову не пришло.
Очень интересная задача и оригинальное решение. Спасибо