Задача с параметром. Метод мажорант.

Заметим, что выражение ограничено снизу, так как в показателе степени стоит квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом. Квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом принимает наименьшее значение в вершине параболы. Выделив полный квадрат в показателе степени, мы увидим следующее:

То есть 

Оставим выражение  в левой части уравнения, а остальные слагаемые перенесем вправо. Получим уравнение:

Левая часть уравнения больше или равна 16.

Введем функцию

Можно заметить, что кусочно-линейная функция - как бы мы ни раскрывали модули, в результате мы будем получать линейную функцию. Причем знак коэффициента при будет зависеть от того, с каким знаком мы раскроем первый модуль.

Если , то первый модуль раскрывается с тем же знаком, и как бы мы ни раскрыли второй модуль, коэффициент при будет отрицательным. Следовательно, функция  убывает при .

Если , то первый модуль раскрывается с противоположным знаком, и как бы мы ни раскрыли второй модуль, коэффициент при будет положительным. Следовательно, функция  возрастает при .

Отсюда следует, что в функция  при  принимает наибольшее значение.

Поэтому, чтобы исходное уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы выполнялось неравенство: .

Осталось решить неравенство:

Раскроем модуль, и для этого рассмотрим два случая:

1)

Отсюда

2)

Ответ:

Посмотрите видеорешение это задачи: