Решение уравнений с модулем

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа,  и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.

Число -5  имеет знак "-" и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x),   если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0

Например |x-3|=x-3,  если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два  различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение  существует на числовом  промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

Решим уравнение:

|x-3|=-x²+4x-3

1.  Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если  x-3<0, т.е. если х<3

2. Мы получили два числовых промежутка:  х≥3 и х<3.

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При  х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

x-3=-x²+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

x² -3х=0

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

х₁=0, х₂=3

Внимание! поскольку  уравнение x-3=-x²+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х₂=3.

Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

3-x=-x²+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

x²-5х+6=0

х₁=2, х₂=3

Внимание! поскольку  уравнение 3-х=-x²+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х₁=2.

Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень  х=2.

Ответ:  х=3, х=2