Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа, и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.
Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.
Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.
Число -5 имеет знак "-" и абсолютное значение 5.
Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.
Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.
Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.
Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0
Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.
Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.
Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.
Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.
А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.
Рассмотрим простой пример.
Решим уравнение:
|x-3|=-x2+4x-3
1. Раскроем модуль.
|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.е. если х<3
2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.
Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:
x-3=-x2+4x-3
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
x2 -3х=0
и решим это уравнение.
Это уравнение имеет корни:
х1=0, х2=3
Внимание! поскольку уравнение x-3=-x2+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х2=3.
Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
3-x=-x2+4x-3
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:
x2-5х+6=0
х1=2, х2=3
Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x2+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х1=2.
Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень х=2.
Ответ: х=3, х=2
добрый день!помогите решить задачу и так (1+ х).| 2-хI.(3х+4х)х=0 сколько разных чисел есть корнем этого уравнения
Нужно каждый множитель приравнять к нулю, выписать все корни, которые при этом получатся, и посмотреть, сколько среди них различных.
помогите решить уравнение |x-a|-2|x-4|=2
|-0.91|=|X|×|-2.6|
|X|×|-2.6|=0,91
равносильно совокупности:
X|×|-2.6=0,91 или X|×|-2.6=-0,91
Теперь раскрыть модуль: рассмотреть 2 случая: х>=0 и x<0
(4x-3|3x-2|+19)(x+1)/(x-5)^2<=0
Методом интервалов: числитель и знаменатель приравнять к нулю, нанести на числовую ось и расставить знаки.
4x-3|3x-2|+19=0
3|3x-2|=(4х-10)
3(3x-2)=(4х-10) или 3(3x-2)=-(4х-10) при условии, что (4х-10)>=0
//ege-ok.ru/2012/01/05/reshenie-ratsionalnyih-neravenstv-met/
решите уравнение х(х+2)=3
помогите пожалуйста срочно решить систему уравнения у=88*3^х
у=модуль/х+2/-1
помогите решить систему уравнения
у=кореньх^2-6х+9 -2
х=3-у
х^2-6х+9=(x-3)^2
корень(х^2-6х+9)=корень (x-3)^2=|x-3|
Получаем
y=|x-3|-2
y=3-x
Получаем уравнение |x-3|-2=3-x