Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7.

Вспомним определение производной:

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Исходя из этого определения, рассмотрим, каким образом производная функции  связана с графиком этой функции.

Посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором я подробно объясняю, в чем заключается геометрический смысл производной, и как выводится уравнение касательной. А затем мы рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Итак.

Геометрический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции   в точке    равен производной функции в этой точке:

Заметим, что угол  - это угол между прямой и положительным направлением оси ОХ:

Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид:

В этом уравнении:

- абсцисса точки касания,

- значение функции  в точке касания,

- значение производной функции  в точке касания.

Приведем несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, в которых используется знание геометрического смысла производной.

Пример 1. Задание В8 (№ 27504) На рисунке изображены график функции   и касательная к нему в точке с абcцисcой  . Найдите значение производной функции  в точке  .

Значение производной функции  в точке  равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим точки с целыми координатами буквами  А и В - эти точки выделены на касательной:

Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В - параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC:

Угол А  треугольника  АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Длины катетов считаем по количеству клеточек.

Ответ: 0,25

Пример 2. Задание В8 (№ 27506) На рисунке изображены график функции   и касательная к нему в точке с абцисоой  . Найдите значение производной функции  в точке .

Эта задача очень похожа на предыдущую, за исключением того, что здесь касательная  наклонена влево, и угол между касательной и положительным направлением оси ОХ расположен так:

Построим, как предыдущей задаче, прямоугольный треугольник АВС:

Угол А треугольника ABC и угол - смежные, то есть их сумма равна 180 градусов. Значит,

Запомните, если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицателен.

Ответ: -0,25

Пример 3. Задание В8 (№ 40129)  На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсцссой 8. Найдите значение производной функции в точке .

Соединим  отрезком точку начала координат с точкой касания:

Производная функции в точке касания равна тангенсу угла  между касательной и положительным направлением оси ОХ:

Чтобы найти тангенс , рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ:

Ответ: 1,25

И.В. Фельдман, репетитор по математике.