Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-01-31

Главная » СТАТЬИ » ПРОИЗВОДНАЯ » Как найти производную. Таблица производных

31 Янв 2012

ПРОИЗВОДНАЯ

Как найти производную. Таблица производных

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:

{ f} prime(x)=g(x)

В этом равенстве f(x) - функция, от которой мы берем производную,

g(x) - функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

{(C)}prime=0

2. Производная степенной функции:

${(x^n)}prime=nx^{n-1}$

Заметим, что может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1. ${(x^5)}prime=5x^4$

2. ${(1/{x^4})}prime={(x^{-4})}prime=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}$

3. ${(1/{root{3}{x}})}prime={(x^{-1/3})}prime={-1/3}x^{{-1/3}-1}=-{x^{-4/3}}/3$

3. Производная показательной функции:

${(a^x)}prime={a^x}ln{a}$

Пример.

${(3^x)}prime={3^x}ln{3}$

Частный случай этой формулы:

${(e^x)}prime={e^x}$

4. Производная логарифма:

${(log_{a}x)}prime=1/{xlna}$

Частный случай этой формулы:

{(ln{x})}prime=1/x

5. Производные тригонометрических функций:

{(sinx)}prime=cosx

{(cosx)}prime=-sinx

${(tgx)}prime=1/{cos^2{x}}$

${(ctgx)}prime=-1/{sin^2{x}}$

6. Производные обратных тригонометрических функций:

${(arcsinx)}prime=1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arccosx)}prime=-1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arctgx)}prime=1/{1+x^2}$

${(arcctgx)}prime=-1/{1+x^2}$

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

{(u+v)}prime={u}prime+{v}prime

2. Производная произведения двух функций:

{(uv)}prime={u}prime{v}+{v}prime{u}

3. Производная дроби:

${(u/v)}prime={{u}prime{v}-{v}prime{u}}/{v^2}$

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

{(Cf(x))}prime=C{(f(x))}prime

Чтобы правильно найти производную функции f(x) , полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение f(x) , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции f(x)

4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции f(x) и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

$f(x)=log_{2}{x^4},~~x>0$

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

$log_{2}{x^4}=4log_{2}{delim{|}{x}{|}}$

Так как по условию x>0 , следовательно, {delim{|}{x}{|}}=x

Таким образом:

${(f(x))}prime={(4log_{2}{x})}prime=4/{xln{2}}$

Пример 2. Найти производную функции:

$f(x)= 1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{{root{4}{x}}}$

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

$f(x)= {1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{root{4}{x}}}= 1/{ x^{1/2}}+{x^2}/{ x^{1/3}}+x/{ x^{1/4}} = x^{-1/2}+ x^{2-{1/3}}+ x^{1-{1/4}}=x^{-1/2}+x^{5/3}+x^{3/4}$

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

${(f(x))}prime={(x^{-1/2})}prime+{(x^{5/3})}prime+{(x^{3/4})}prime=-{1/2}x^{-{1/2}-1}+{5/3}x^{{5/3}-1}+{3/4}x^{{3/4}-1}=-{1/2}x^{-{3/2}}+{5/3}x^{2/3}+{3/4}x^{-{1/4}}$

Пример 3. Найти производную функции

$y=x^2+1/{3x^2}-2/{5x^3}$

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

$y=x^2+{1/3}*x^{-2}-{2/5}*x^{-3}$

Теперь легко найти производную:

${y}prime={(x^2)}prime+{1/3}*{(x^{-2})}prime-{2/5}*{(x^{-3})}prime=2x+{1/3}*{(-2x^{-3})}-{2/5}*{({-3}x^{-4})}=2x-{2/3}x^{-3}+{6/5}x^{-4}$

Пример 4. Найти производную функции:

$f(x)={2^x}/{{cos}{x}+1}$

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции f(x) по формуле производной дроби:

$(u/v){prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}$

В нашем случае:

$u=2^x;~~u{prime}=2^x{ln{2}}$

v={cos}{x}+1;~~v{prime}=-sin{x}

Отсюда:

${(f(x))}{prime}= {({2^x}/{{cos}{x}+1})}prime={{(2^x)}prime({cos}{x}+1)-{2^x}{({cos}{x}+1)}prime}/{{({cos}{x}+1)}^2}={{(2^x)}ln{2}({cos}{x}+1)-{2^x}({-sin{x}})}/{{({cos}{x}+1)}^2}$

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Как найти производную. Таблица производных

Инна | Отзывов (657)

Отзывов (657)

Следующие комментарии →

Макс

2012-06-02 в 11:06

У вас опечатка в третьем пункте в примере. вместо натурального логарифма числа 3 логарифм а.

Ответить
- Инна
  
  2012-06-02 в 13:04
  
  Спасибо, исправила.
  
  Ответить
  - севиль
    
    2014-11-21 в 15:00
    
    Как найти производную y=X-1ДЕЛЕНЫЙ НА X+1
    
    Ответить
    - Инна
      
      2014-11-21 в 15:04
      
      Это производная дроби:
      (u/v)’=(u’v-v’u)/v^2
      u=х-1
      u’=1
      v=x+1
      v’=1
      
      Ответить
    - лиза
      
      2015-05-10 в 14:41
      
      Инна, помогите пожалуйста. Нужно используя формулу производную от суммы, найти производную функции : y=x^2-6x+1
      
      Ответить
      - Инна
        
        2015-05-11 в 16:29
        
        y’=(x^2-6x+1)’=(x^2)’-(6x)’+(1)’=2x-6
        
        Ответить
      - Алеся
        
        2015-08-19 в 10:14
        
        помогите найти производную графика y=(27-x)√x
        
        Ответить
      - Инна
        
        2015-08-20 в 16:26
        
        y=27x-x√x=27x-x^(3/2)
        y’=27-(3/2)x^(3/2-1)=27-(3/2)x^(1/2)
        
        Ответить
      - сергей
        
        2015-10-16 в 09:03
        
        помогите вычислить производную y=(tgx*lnx)
        
        Ответить
      - Инна
        
        2015-10-16 в 09:13
        
        Это производная произведения.
        
        (1)
        
        Подставляем все в формулу (1)
        
        Ответить
      - Роман
        
        2016-01-05 в 16:25
        
        Помогите найти производную ln*tg корень их х
        
        Ответить
      - Smag
        
        2016-01-18 в 11:58
        
        Извините, но помогите мне пожалуйста: y=(3-4x)^8
        
        Ответить
      - Инна
        
        2016-01-19 в 15:58
        
        $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
        
        Ответить
  - Елена
    
    2015-01-18 в 11:57
    
    Помогите, пожалуйста, найти производные функций:
    y(x)=xsinx и вычислить ее значение в точке х=Пи/2 (получается «0» — верно?)
    y=(2x-3)^6 ^ x=1
    
    Ответить
  - Irina
    
    2015-04-01 в 14:52
    
    Как находить производные такого типа как корень из x^2+4x+20, помогите пожайлуста
    
    Ответить
    - Инна
      
      2015-04-01 в 15:21
      
      Это производная сложной функции. См. здесь: //ege-ok.ru/2012/02/01/slozhnaya-funktsiya-proizvodnaya-slozhnoy-funktsii/
      
      Ответить
  - Глеб
    
    2015-06-17 в 09:05
    
    Помогите решить уравнение:
    log(в квадрате)(7x-4)=2+log(в квадрате)13
    
    Ответить
    - Инна
      
      2015-06-17 в 14:12
      
      Что в основании логарифма?
      
      Ответить
  - василиса
    
    2015-09-20 в 12:49
    
    lnx^3sinx^2 помогите решить
    
    Ответить
    - Инна
      
      2015-09-21 в 08:11
      
      Ответить
      - Алена
        
        2015-11-06 в 02:04
        
        Здравствуйте, Инна. Помогите, пожалуйста, найти производную y=tg^2 ln (7x-1)
        
        Ответить
      - Инна
        
        2015-11-06 в 13:21
        
        это производная сложной функции
        
        Ответить
  - Наталья
    
    2015-09-21 в 22:05
    
    Доброго вам дня,Инна.)Будьте добры,помогите решить.
    У=ln(5x/x-1 -2)=ln(3x+2/x-1)
    Буду вам ояень благодарна
    
    Ответить
    - Инна
      
      2015-09-23 в 06:19
      
      А что надо сделать?
      
      Ответить
  - ainur
    
    2015-11-11 в 18:40
    
    y=(x+1)/(x^1/3+1)
    
    Ответить
    - Инна
      
      2015-11-13 в 07:59
      
      Это производная дроби.
      
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      
      Ответить
  - Ника
    
    2015-11-22 в 18:33
    
    Как найти f'(-1) если f(x)=x^3-3x^2+4
    
    Ответить
    - Инна
      
      2015-11-23 в 10:55
      
      1) найти f'(x)
      2) подставить вместо х число -1 и найти f'(-1)
      
      Ответить
  - Лера
    
    2015-12-11 в 03:52
    
    Помогитк Пожалуйста
    f (x)=x3/6-5/x+3кореньx-1
    
    Ответить
    - Инна
      
      2015-12-11 в 07:43
      
      Ответить
  - Влад
    
    2015-12-16 в 18:45
    
    Как решить? y’=(ctg⎷3x)’=
    
    Ответить
  - Фая
    
    2016-01-23 в 11:06
    
    найдите производную функции y=(-x^3-3x^2) (корень из x-2x^3/5)
    
    Ответить
    - Инна
      
      2016-01-23 в 11:20
      
      Нужно найти производную произведения: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (1)
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      Теперь подставить в формулу (1)
      
      Ответить
- Alexandra
  
  2015-10-10 в 23:28
  
  Помогите пожалуйста, мне нужно найти производную f(x)=x^2/x^2+1. Никак не могу решить
  
  Ответить
  - Инна
    
    2015-10-11 в 08:39
    
    f(x)=x^2/x^2+1
    Это производная дроби:
    Производная дроби: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
    $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
    $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
    Теперь это подставить в формулу (1)
    $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
    Теперь упростить числитель.
    
    Ответить
- сергей
  
  2015-10-16 в 09:00
  
  помогите найти производную y=(tgx * lnx)
  
  Ответить
Любовь

2012-10-27 в 13:51

Помогите пожалуйста решить?

Ответить
иван

2013-10-07 в 19:35

помогите решить найти производную от функции y=e^3x*(x+5)

Ответить
- Инна
  
  2013-10-08 в 05:09
  
  нужно найти производную произведения: (e^3x*(x+5))’=(e^3x)'(x+5)+(x+5)'(e^3x)=3e^3x(x+5) +e^3x
  
  Ответить
  - Артём
    
    2015-01-15 в 12:05
    
    Не понятно мне с заданием завтра экзамен, как сделать производные функций y=c, y=x в квадрате,y=x в кубе
    
    Ответить
  - belly01
    
    2015-01-17 в 19:11
    
    Помогите пожалуйста решить 2 примера по производным!!!!
    Очень надо!!!
    1)y=x*tg^2(x)
    2) y= ln(1+корень из 1+x^2)
    
    Ответить
    - Инна
      
      2015-01-22 в 16:01
      
      //ege-ok.ru/2015/01/22/proizvodnaya-slozhnoy-funktsii-video/
      
      Ответить
      - Антонида
        
        2015-11-29 в 09:18
        
        Инна,помогите пожалуйста продифференцировать
        3. y=arccos^2(4x)*ln(x-3)
        4. y=5^-x^2*arcsin3x^3
        
        Ответить
      - Инна
        
        2015-11-29 в 16:01
        
        Это производная произведения и сложной функции.
        
        $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
        $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
        
        Ответить
Анна

2013-10-23 в 09:19

подскажите пожалуйста, как будет выглядеть производная y=(x+sinx)^x^2

Ответить
- Инна
  
  2013-10-23 в 11:10
  
  Обозначим f=x+sinx, g=x^2
  Имеем функцию f^g. Запишем ее в виде e^{g*lnf}
  ( e^{g*lnf})’=(e^{g*lnf})*(g*lnf)’=(f^g)*(g’*lnf+g*(lnf)’)
  Теперь в эту формулу аккуратно подставить исходные функции и найти производные.
  
  Ответить
  - Анастасия
    
    2015-09-12 в 14:30
    
    Инна, помогите пожалуйста найти производную функции y=e^5x(5sinx-cosx)
    
    Ответить
    - Инна
      
      2015-09-12 в 14:59
      
      Это производная произведения: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      
      Ответить
Anya

2013-10-26 в 22:27

здравствуйте, помогите пожалуйста решить?)
3*(sqrt(e^(4* x+3)))

Ответить
- Инна
  
  2013-10-27 в 09:32
  
  Нужно взять производную сложной функции. Сначала рассматриваем внешнюю функцию √t, где t=e^(4* x+3) (√t)’=(1/2√t)*t’
  [3*(sqrt(e^(4* x+3)))]’=3*(1/2(sqrt(e^(4* x+3))))*(e^(4* x+3))’=3*(1/2(sqrt(e^(4* x+3))))*(e^(4* x+3))*4=(12e^(4* x+3))/2(sqrt(e^(4* x+3)))=(6e^(4* x+3))/(sqrt(e^(4* x+3)))
  
  Ответить
  - Anya
    
    2013-10-27 в 19:36
    
    Спасибо большое)
    
    Ответить
Алексе

2013-10-28 в 13:01

Добрый день!!! помогите решить
y=sin√3+1/3*sin3x^2/cos6x

Ответить
Анна

2013-10-31 в 14:04

Помогите решить. Найти производную функции f(x)=2sin5x и вычеслить f'(-П/3)

Ответить