Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-01-31

Главная » СТАТЬИ » ПРОИЗВОДНАЯ » Как найти производную. Таблица производных

31 Янв 2012

ПРОИЗВОДНАЯ

Как найти производную. Таблица производных

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:

{ f} prime(x)=g(x)

В этом равенстве f(x) - функция, от которой мы берем производную,

g(x) - функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

{(C)}prime=0

2. Производная степенной функции:

${(x^n)}prime=nx^{n-1}$

Заметим, что может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1. ${(x^5)}prime=5x^4$

2. ${(1/{x^4})}prime={(x^{-4})}prime=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}$

3. ${(1/{root{3}{x}})}prime={(x^{-1/3})}prime={-1/3}x^{{-1/3}-1}=-{x^{-4/3}}/3$

3. Производная показательной функции:

${(a^x)}prime={a^x}ln{a}$

Пример.

${(3^x)}prime={3^x}ln{3}$

Частный случай этой формулы:

${(e^x)}prime={e^x}$

4. Производная логарифма:

${(log_{a}x)}prime=1/{xlna}$

Частный случай этой формулы:

{(ln{x})}prime=1/x

5. Производные тригонометрических функций:

{(sinx)}prime=cosx

{(cosx)}prime=-sinx

${(tgx)}prime=1/{cos^2{x}}$

${(ctgx)}prime=-1/{sin^2{x}}$

6. Производные обратных тригонометрических функций:

${(arcsinx)}prime=1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arccosx)}prime=-1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arctgx)}prime=1/{1+x^2}$

${(arcctgx)}prime=-1/{1+x^2}$

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

{(u+v)}prime={u}prime+{v}prime

2. Производная произведения двух функций:

{(uv)}prime={u}prime{v}+{v}prime{u}

3. Производная дроби:

${(u/v)}prime={{u}prime{v}-{v}prime{u}}/{v^2}$

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

{(Cf(x))}prime=C{(f(x))}prime

Чтобы правильно найти производную функции f(x) , полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение f(x) , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции f(x)

4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции f(x) и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

$f(x)=log_{2}{x^4},~~x>0$

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

$log_{2}{x^4}=4log_{2}{delim{|}{x}{|}}$

Так как по условию x>0 , следовательно, {delim{|}{x}{|}}=x

Таким образом:

${(f(x))}prime={(4log_{2}{x})}prime=4/{xln{2}}$

Пример 2. Найти производную функции:

$f(x)= 1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{{root{4}{x}}}$

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

$f(x)= {1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{root{4}{x}}}= 1/{ x^{1/2}}+{x^2}/{ x^{1/3}}+x/{ x^{1/4}} = x^{-1/2}+ x^{2-{1/3}}+ x^{1-{1/4}}=x^{-1/2}+x^{5/3}+x^{3/4}$

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

${(f(x))}prime={(x^{-1/2})}prime+{(x^{5/3})}prime+{(x^{3/4})}prime=-{1/2}x^{-{1/2}-1}+{5/3}x^{{5/3}-1}+{3/4}x^{{3/4}-1}=-{1/2}x^{-{3/2}}+{5/3}x^{2/3}+{3/4}x^{-{1/4}}$

Пример 3. Найти производную функции

$y=x^2+1/{3x^2}-2/{5x^3}$

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

$y=x^2+{1/3}*x^{-2}-{2/5}*x^{-3}$

Теперь легко найти производную:

${y}prime={(x^2)}prime+{1/3}*{(x^{-2})}prime-{2/5}*{(x^{-3})}prime=2x+{1/3}*{(-2x^{-3})}-{2/5}*{({-3}x^{-4})}=2x-{2/3}x^{-3}+{6/5}x^{-4}$

Пример 4. Найти производную функции:

$f(x)={2^x}/{{cos}{x}+1}$

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции f(x) по формуле производной дроби:

$(u/v){prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}$

В нашем случае:

$u=2^x;~~u{prime}=2^x{ln{2}}$

v={cos}{x}+1;~~v{prime}=-sin{x}

Отсюда:

${(f(x))}{prime}= {({2^x}/{{cos}{x}+1})}prime={{(2^x)}prime({cos}{x}+1)-{2^x}{({cos}{x}+1)}prime}/{{({cos}{x}+1)}^2}={{(2^x)}ln{2}({cos}{x}+1)-{2^x}({-sin{x}})}/{{({cos}{x}+1)}^2}$

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Как найти производную. Таблица производных

Инна | Отзывов (657)

Отзывов (657)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Павел

2014-07-07 в 18:43

Помогите пожалуйста решить:
F'(0) если f(x)=5×4-3cosx

Вот мой расчет:
F(x)=20×3+3sinx соответственно f'(0)= 0*20×3+3sinx = x3+3sinx?

Или так — f'(0)= 0*20×3+0*3sinx = x3+sinx?

Ответить
- Инна
  
  2014-07-08 в 12:05
  
  Нет, неправильно. 0 нужно подставить в уравнение производной вместо х:
  F(0)=20*0^3+3sin0=0
  
  Ответить
гуля

2014-09-07 в 13:30

помогите пожалуйста решить : найти производную ( у=корень из х/2)???

Ответить
- Инна
  
  2014-09-07 в 17:00
  
  y’=(1/(2корень(x/2)))*1/2
  
  Ответить
  - гуля
    
    2014-09-08 в 14:52
    
    спасибо)
    
    Ответить
Ксения

2014-09-08 в 14:56

Помогите пожалуйста, объясните мне:
y=lnxtgx
y=e^x sinx
y=корень x ctgx
y=lnx x^4/7

Ответить
- Инна
  
  2014-09-08 в 15:03
  
  Все примеры — это производная произведения.
  Производная произведения находится по правилу:
  (uv)’=u’v+v’u
  y=lnxtgx
  u=lnx, u’=1/x
  v=tgx; v’=1/(cosx)^2
  Подствляем в формулу:
  (1/x)*(tgx)+(1/(cosx)^2)*(lnx)
  Дальше по возможности упростить
  
  Ответить
  - Ксения
    
    2014-09-08 в 15:09
    
    спасибо
    
    Ответить
Анастасия

2014-09-10 в 12:15

Помогите пожалуйста

y=ctg^2 * ln3x

Ответить
- Инна
  
  2014-09-11 в 06:13
  
  Это произведение двух сложных функций. Производная произведения: (uv)’=u’v+v’u
  Производная сложной функции: //ege-ok.ru/2012/02/01/slozhnaya-funktsiya-proizvodnaya-slozhnoy-funktsii/
  
  Ответить
Влад

2014-09-11 в 06:07

Здравствуйте)помогите пожалуйста решить.
у=(2х^2+1)*4x/х^3-8

Ответить
- Инна
  
  2014-09-11 в 06:15
  
  Производная дроби: (u/v)’=(u’v-v’u)/v^2
  Здесь: u=(2х^2+1)*4x
  v=х^3-8 — если 8 относится к знаменателю.
  Аккуратно найти производную u и v и подставить в формулу.
  
  Ответить
  - Влад
    
    2014-09-11 в 06:28
    
    Спасибо
    
    Ответить
Власова Анна

2014-09-14 в 08:19

Инна, добрый день! Вы большой профессионал. Выручайте.
Тема «Производная и дифференциал функции». Решите, пожалуйста, несколько заданий:
1. Зависимость между количеством вещества х, полученного в некоторой химической реакции, и времени t выражается уравнением x=A(1+e^-kt), где A и k — постоянные. Определите скорость реакции.
2. Тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону S=1+t+t^2, где S-путь (м), t — время, с. Определите кинетическую энергию Ek=mv^2/2 тела через 5 секунд после начала движения.
3. Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол ϕ(t)=4t-0,3t^2 (рад). Найти: а) угловую скорость ω(t) вращения маховика в момент времени t=2с; б) такой момент времени, когда маховик остановится.
4. Точка совершает колебания по оси абсцисс по закону x=cosωt. Найти момент времени, когда скорость равна нулю. Чему в это время равно х?
5. Тело массой m=1 кг движется по закону S=0,3sin(10t-π) (м). Определить силу, действующую на тело.
6. Величина заряда q, протекающего через сечение проводника, изменяется по закону q=2t^2+3t+1 (Кл). Найти силу тока в конце пятой секунды.
7. Укорочение мышцы при одиночном раздражении можно описать уравнением Релея: y=te^(-t^2)/2, где t — время. Найти скорость и ускорение в зависимости от времени.
8. Найти производную сложной функции:
а) y=2cos(π/6-3x)…
Заранее большое спасибо!

Ответить
- Инна
  
  2014-09-14 в 15:39
  
  1. Скорость реакции — это скорость изменения количества вещества, то есть x’.
  Найти производную функции x=A(1+e^-kt)
  2. v=S’
  а) Найти производную S=1+t+t^2
  б) Найти v=S(5)
  в) подставить v в Ek=mv^2/2
  3. ω(t)=(ϕ(t))’
  а)Найти ω(0)
  б) решить уравнение (ϕ(t))’ =0
  7. ускорение — это вторая производная, то есть производная от производной.
  8. //ege-ok.ru/2012/02/01/slozhnaya-funktsiya-proizvodnaya-slozhnoy-funktsii/
  
  Ответить
Илюхина настя

2014-09-24 в 16:31

Здравствуйте)помогите пожалуйста решить.
y=2*x^3+7*x^2-4x

Ответить
- Инна
  
  2014-09-24 в 16:44
  
  y’=2*3x^2+7*2x-4=6x^2+14x-4
  
  Ответить