Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
31 Янв 2012
ПРОИЗВОДНАЯ

Как найти производную. Таблица производных

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно.  Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

 

 

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам  получаем  другую функцию:

{ f} prime(x)=g(x)

В этом равенстве f(x) - функция, от которой мы берем производную,

g(x) - функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение  производной, существует таблица производных  элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

{(C)}prime=0

2. Производная степенной функции:

{(x^n)}prime=nx^{n-1}

Заметим, что n может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1. {(x^5)}prime=5x^4

2. {(1/{x^4})}prime={(x^{-4})}prime=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}

3. {(1/{root{3}{x}})}prime={(x^{-1/3})}prime={-1/3}x^{{-1/3}-1}=-{x^{-4/3}}/3

3. Производная показательной функции:

{(a^x)}prime={a^x}ln{a}

Пример.

{(3^x)}prime={3^x}ln{3}

Частный случай этой формулы:

{(e^x)}prime={e^x}

4. Производная логарифма:

{(log_{a}x)}prime=1/{xlna}

Частный случай этой формулы:

{(ln{x})}prime=1/x

5. Производные тригонометрических функций:

{(sinx)}prime=cosx

{(cosx)}prime=-sinx

{(tgx)}prime=1/{cos^2{x}}

{(ctgx)}prime=-1/{sin^2{x}}

6. Производные обратных тригонометрических функций:

{(arcsinx)}prime=1/{sqrt{1-x^2}}

{(arccosx)}prime=-1/{sqrt{1-x^2}}

{(arctgx)}prime=1/{1+x^2}

{(arcctgx)}prime=-1/{1+x^2}

 

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

{(u+v)}prime={u}prime+{v}prime

2. Производная произведения двух функций:

{(uv)}prime={u}prime{v}+{v}prime{u}

3. Производная дроби:

{(u/v)}prime={{u}prime{v}-{v}prime{u}}/{v^2}

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

{(Cf(x))}prime=C{(f(x))}prime

Чтобы правильно найти производную функции f(x), полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите  в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение f(x), используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции f(x)

4. Вспомните, чему равны производные  этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции f(x) и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

f(x)=log_{2}{x^4},~~x>0

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

log_{2}{x^4}=4log_{2}{delim{|}{x}{|}}

Так как по условию x>0, следовательно, {delim{|}{x}{|}}=x

Таким образом:

{(f(x))}prime={(4log_{2}{x})}prime=4/{xln{2}}

Пример 2. Найти производную функции:

f(x)= 1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{{root{4}{x}}}

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

f(x)= {1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{root{4}{x}}}= 1/{ x^{1/2}}+{x^2}/{ x^{1/3}}+x/{ x^{1/4}} =  x^{-1/2}+ x^{2-{1/3}}+ x^{1-{1/4}}=x^{-1/2}+x^{5/3}+x^{3/4}

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

{(f(x))}prime={(x^{-1/2})}prime+{(x^{5/3})}prime+{(x^{3/4})}prime=-{1/2}x^{-{1/2}-1}+{5/3}x^{{5/3}-1}+{3/4}x^{{3/4}-1}=-{1/2}x^{-{3/2}}+{5/3}x^{2/3}+{3/4}x^{-{1/4}}

Пример 3. Найти производную функции

y=x^2+1/{3x^2}-2/{5x^3}

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени  xи выделим в явном виде числовые коэффициенты:

y=x^2+{1/3}*x^{-2}-{2/5}*x^{-3}

Теперь легко найти производную:

{y}prime={(x^2)}prime+{1/3}*{(x^{-2})}prime-{2/5}*{(x^{-3})}prime=2x+{1/3}*{(-2x^{-3})}-{2/5}*{({-3}x^{-4})}=2x-{2/3}x^{-3}+{6/5}x^{-4}

Пример 4. Найти производную функции:

f(x)={2^x}/{{cos}{x}+1}

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции f(x)  по формуле производной дроби:

(u/v){prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}

В нашем случае:

u=2^x;~~u{prime}=2^x{ln{2}}

v={cos}{x}+1;~~v{prime}=-sin{x}

Отсюда:

{(f(x))}{prime}= {({2^x}/{{cos}{x}+1})}prime={{(2^x)}prime({cos}{x}+1)-{2^x}{({cos}{x}+1)}prime}/{{({cos}{x}+1)}^2}={{(2^x)}ln{2}({cos}{x}+1)-{2^x}({-sin{x}})}/{{({cos}{x}+1)}^2}

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Как найти производную. Таблица производных
| Отзывов (657)

Отзывов (657)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Екатерина
    в 13:38

    Помогите,пожалуйста, вычислить производную функции y=(ln(x^2-3))/(5x+3)!!Очень нужна Ваша помощь!
    Ответить
  2. Лилия
    в 07:39

    Здравствуйте Инна . Очень прошу помочь решить эти примеры.
    x=ln(1-t)^4
    y=arccos t^2
    Объединены фигурной скобкой .
    И еще один пример
    y=5 корень 5й степени x-7 arcctgx
    Заранее огромное спасибо .
    Ответить
  3. Дарина
    в 10:49

    найти производную функции y=sin^6(4x^3-2)
    Ответить
    • Инна
      в 10:53

      (sin^6(4x^3-2))’=6*sin^5(4x^3-2)*cos(4x^3-2)*(12x^2)
      Ответить
  4. Лена
    в 10:59

    найти производную третьего порядка функции y=3*x^4+cos*5*x
    Ответить
    • Инна
      в 11:07

      Сначала найти производную от этой функции, потом производную от производной — получится производная второго порядка, и в третий раз найти производную от производной второго порядка, получится производная третьего порядка.
      Ответить
      • Лена
        в 11:09

        y = 3*x^4+cos5*x
        y’= 12*x^3-5sin5x
        y»= 36*x^2-25cos5*x
        y»’= 72*x+12sin5*x
        Верно?
        Ответить
        • Инна
          в 21:19

          (25cos5*x)’=-75sin5x
          Остальное верно
          Ответить
          • Лена
            в 22:32

            y = 3*x^4+cos5*x
            y’= 12*x^3-5sin5x
            y»= 36*x^2-25cos5*x’
            y»’= -75sin5x
            так?
            Ответить
  5. Игорь
    в 11:06

    Здравствуйте, Инна. Нужно написать уравнение касательной к графику функции F(x) = 3/x в точке с абсциссой x0=-1, x0=1
    Ответить
  6. Андрей
    в 11:13

    Материальная точка движется по закону x(t)=-1/3t^3+2t^2+5t.Найти скорость и ускорение в момент времени t=5с. (Перемещение измеряется в метрах)
    Ответить
    • Инна
      в 09:05

      v=x'(5)
      a=x»(5)
      Вторая производная равна производной от первой производной.
      Ответить
  7. Кристина
    в 10:17

    arctg^3 ln( Sqrt(x)/(x+2)
    Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *