Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-01-31

Главная » СТАТЬИ » ПРОИЗВОДНАЯ » Как найти производную. Таблица производных

31 Янв 2012

ПРОИЗВОДНАЯ

Как найти производную. Таблица производных

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:

{ f} prime(x)=g(x)

В этом равенстве f(x) - функция, от которой мы берем производную,

g(x) - функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

{(C)}prime=0

2. Производная степенной функции:

${(x^n)}prime=nx^{n-1}$

Заметим, что может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1. ${(x^5)}prime=5x^4$

2. ${(1/{x^4})}prime={(x^{-4})}prime=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}$

3. ${(1/{root{3}{x}})}prime={(x^{-1/3})}prime={-1/3}x^{{-1/3}-1}=-{x^{-4/3}}/3$

3. Производная показательной функции:

${(a^x)}prime={a^x}ln{a}$

Пример.

${(3^x)}prime={3^x}ln{3}$

Частный случай этой формулы:

${(e^x)}prime={e^x}$

4. Производная логарифма:

${(log_{a}x)}prime=1/{xlna}$

Частный случай этой формулы:

{(ln{x})}prime=1/x

5. Производные тригонометрических функций:

{(sinx)}prime=cosx

{(cosx)}prime=-sinx

${(tgx)}prime=1/{cos^2{x}}$

${(ctgx)}prime=-1/{sin^2{x}}$

6. Производные обратных тригонометрических функций:

${(arcsinx)}prime=1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arccosx)}prime=-1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arctgx)}prime=1/{1+x^2}$

${(arcctgx)}prime=-1/{1+x^2}$

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

{(u+v)}prime={u}prime+{v}prime

2. Производная произведения двух функций:

{(uv)}prime={u}prime{v}+{v}prime{u}

3. Производная дроби:

${(u/v)}prime={{u}prime{v}-{v}prime{u}}/{v^2}$

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

{(Cf(x))}prime=C{(f(x))}prime

Чтобы правильно найти производную функции f(x) , полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение f(x) , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции f(x)

4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции f(x) и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

$f(x)=log_{2}{x^4},~~x>0$

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

$log_{2}{x^4}=4log_{2}{delim{|}{x}{|}}$

Так как по условию x>0 , следовательно, {delim{|}{x}{|}}=x

Таким образом:

${(f(x))}prime={(4log_{2}{x})}prime=4/{xln{2}}$

Пример 2. Найти производную функции:

$f(x)= 1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{{root{4}{x}}}$

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

$f(x)= {1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{root{4}{x}}}= 1/{ x^{1/2}}+{x^2}/{ x^{1/3}}+x/{ x^{1/4}} = x^{-1/2}+ x^{2-{1/3}}+ x^{1-{1/4}}=x^{-1/2}+x^{5/3}+x^{3/4}$

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

${(f(x))}prime={(x^{-1/2})}prime+{(x^{5/3})}prime+{(x^{3/4})}prime=-{1/2}x^{-{1/2}-1}+{5/3}x^{{5/3}-1}+{3/4}x^{{3/4}-1}=-{1/2}x^{-{3/2}}+{5/3}x^{2/3}+{3/4}x^{-{1/4}}$

Пример 3. Найти производную функции

$y=x^2+1/{3x^2}-2/{5x^3}$

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

$y=x^2+{1/3}*x^{-2}-{2/5}*x^{-3}$

Теперь легко найти производную:

${y}prime={(x^2)}prime+{1/3}*{(x^{-2})}prime-{2/5}*{(x^{-3})}prime=2x+{1/3}*{(-2x^{-3})}-{2/5}*{({-3}x^{-4})}=2x-{2/3}x^{-3}+{6/5}x^{-4}$

Пример 4. Найти производную функции:

$f(x)={2^x}/{{cos}{x}+1}$

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции f(x) по формуле производной дроби:

$(u/v){prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}$

В нашем случае:

$u=2^x;~~u{prime}=2^x{ln{2}}$

v={cos}{x}+1;~~v{prime}=-sin{x}

Отсюда:

${(f(x))}{prime}= {({2^x}/{{cos}{x}+1})}prime={{(2^x)}prime({cos}{x}+1)-{2^x}{({cos}{x}+1)}prime}/{{({cos}{x}+1)}^2}={{(2^x)}ln{2}({cos}{x}+1)-{2^x}({-sin{x}})}/{{({cos}{x}+1)}^2}$

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Как найти производную. Таблица производных

Инна | Отзывов (657)

Отзывов (657)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Ксюша

2014-12-07 в 22:53

Логарифмическое дифференцирование
у= e в степени 2x / корень из 1-х (в квадрате) * cosx

помогите пожалуйста, а то я все голову сломала, но решить не могу:(

Ответить
- Инна
  
  2014-12-08 в 07:18
  
  Вся дробь в степени? Расставьте, пожалуйста, скобки для обозначения порядка действий
  
  Ответить
  - Ксюша
    
    2014-12-08 в 08:33
    
    у=(e в степени (2x)) / (корень из 1-х (в квадрате))*(cosx)
    
    Вот так лучше?
    
    Ответить
    - Инна
      
      2014-12-08 в 11:18
      
      Здесь используем производную дроби и произведения.
      Производная дроби:
      ( u/v)’=(u’v-v’u)/v^2
      Здесь u=e в степени (2x), v=(корень из 1-х (в квадрате))*(cosx)
      u’=2*e^(2x)
      v — произведение двух функций: (ab)’=a’b+b’a
      a=корень из 1-х (в квадрате)
      a’=(1/(2*корень из 1-х (в квадрате)))*(-2x)
      b=cosx
      b’=-sinx
      
      Ответить
      - Ксюша
        
        2014-12-08 в 11:35
        
        Я не совсем поняла ваше решение, увы у меня туго с этим. Но я начала решать так, ln(y)=2^x * ln(1-x^2)-ln(cosx) и зашла в тупик, дальше не могу сообразить.
        
        Ответить
      - Инна
        
        2014-12-08 в 11:57
        
        Я брала производную без логарифмирования. Если продолжать ваше решение, то получится:
        берем производную от обеих частей уравнения
        (ln(y))’=(2^x * ln(1-x^2)-ln(cosx))’
        y’/y=(2^x * ln(1-x^2)-ln(cosx))’
        y’=y*(2^x * ln(1-x^2)-ln(cosx))’
        у=(e в степени (2x)) / (корень из 1-х (в квадрате))*(cosx)
        
        Ответить
Впня

2014-12-09 в 12:08

Помогите пожалуйста найти производную
(3^logx) с порядком решения. ..

Ответить
- Инна
  
  2014-12-09 в 12:40
  
  По какому основанию логарифм?
  
  Ответить
  - александр
    
    2015-09-13 в 11:40
    
    Инна Здравствуйте помоги те пожалуйста задание такое : «1» производная первая часть 12 .»2″ производная вторая часть 10 правил. «3»применение производной и п.»4″степени.»5″показатель уранений и неравенств. «6»логотипы определение и свойства.
    
    Ответить
    - Инна
      
      2015-09-13 в 13:51
      
      Не поняла вопрос.
      
      Ответить
Alexey

2014-12-10 в 13:36

Пожалуйста!срочно Помогите найти производные функций:
1. y=2x^3/4√4x-5
2.y=3e^-2x*tg5x
3.y=sin5x/arccos2x
4.y=ln^-3(2x-3),y`(5)-?
5.y=(3x-7)^-5
6.y=(3/x-3x^2+2x^-5-0,7)^4/9
7.y=(^3√ 1-2x^2)^3x
8.y=cos^2пи/4x
9.y=e^3t(cos2t-2sin2t),y`(0)-?
10.y=e^3x+3/ln2x

Ответить
Вантёшка

2014-12-11 в 18:01

Найдите производные от данных функций:
а) y =√x2+1 + 3√x3 + 1, y′(0);
б) y =1/3tg3x + tgx + x2 − π2x,y′(π4);
в) y =(arctg√3 − x)√3/2, y′(0).
x + 2

Ответить
Вантёшка

2014-12-11 в 18:05

Помогите пожалуйста решить пример… очень нужно
2. Дана функция y = 4[ x/2√4−x2 + 2 arcsin x/2].Найдите y′’.Вычислите y′′ (6/5).

Ответить
Вантёшка

2014-12-11 в 18:09

4. Докажите, что функция z=ln(x2+y2+2x+1) удовлетворяет уравнению
d2z/dx2 + d2z/dy2 = 0.

Ответить
- Инна
  
  2014-12-12 в 13:38
  
  Когда мы берем частную производную по одной из переменных, то вторую считаем константой
  dz/dx=(1/(x2+y2+2x+1) )*(2x+2)=(2x+2)/(x2+y2+2x+1) — теперь нужно взять производную от полученной производной.
  
  Ответить
Светлана

2014-12-12 в 17:19

помогите ,пожалуйста ,»Найдите производную и дифференциал следующей функции: y=sin(x^6)-(x^3+2)^(1/2)»

Ответить