Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-01

Главная » СТАТЬИ » ПРОИЗВОДНАЯ » Сложная функция. Производная сложной функции.

01 Фев 2012

ПРОИЗВОДНАЯ

Сложная функция. Производная сложной функции.

В этой статье мы будем говорить о таком важном математическом понятии, как сложная функция, и учиться находить производную сложной функции.

Прежде чем учиться находить производную сложной функции, давайте разберемся с понятием сложной функции, что это такое, "с чем ее едят", и "как правильно ее готовить".

Рассмотрим произвольную функцию, например, такую:

f(x)=x^5

Заметим, что аргумент , стоящий в правой и левой части уравнения функции - это одно и то же число, или выражение.

Вместо переменной мы можем поставить, например, такое выражение: cosx+sinx . И тогда мы получим функцию

$f(cosx+sinx)={(cosx+sinx)}^5$ .

Назовем выражение cosx+sinx промежуточным аргументом, а функцию - внешней функцией. Это не строгие математические понятия, но они помогают уяснить смысл понятия сложной функции.

Строгое определение понятия сложной функции звучит так:

Пусть функция определена на множестве и - множество значений этой функции. Пусть, множество (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим в соответствие каждому из число . Тем самым на множестве будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией, y=f(u) - внешняя функция, u=g(x) - промежуточный аргумент.

Производная сложной функции находится по такому правилу:

{(f(g(x)))}prime={f}prime(g(x))*{g}prime{(x)}

Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:

{(f(Delta))}prime={f}prime(Delta)*{Delta}prime

В этом выражении с помощью Delta обозначена промежуточная функция.

Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно

1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.

2. Определить промежуточный аргумент.

В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:

а. Запишите уравнение функции.

б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.

Например, в функции

$y=5^{{sin}^2{x}}$ последнее действие - возведение в степень.

Найдем производную этой функции. Для этого запишем промежуточный аргумент

${sin}^2{x}$ как Delta

Получим ${(5^{Delta})}prime$

Ищем в таблице производных производную показательной функции:

${(a^x)}prime={a^x}ln{a}$

Получим:

${(5^{Delta})}prime={(5^{Delta})}ln5{Delta}prime={(5^{{sin}^2{x}})}ln5{({sin}^2{x})}prime$ (1)

Теперь наша задача найти производную функции ${sin}^2{x}$

Заметим, что здесь мы опять имеем дело со сложной функцией. В этом выражении последнее действие - возведение в квадрат, а промежуточный аргумент {sin}{x} .

Получаем:

${({sin}^2{x})}prime=2{sin}{x}*{({sin}{x})}prime=$

Смотрим в таблице производных производную синуса:

{({sin}{x})}prime={cos}{x}

Получаем:

2{sin}{x}*{({sin}{x})}prime=2{sin}{x}*{({cos}{x})}

Подставим полученное значение производной в выражение (1):

${(5^{Delta})}prime={(5^{Delta})}ln5{Delta}prime={(5^{{sin}^2{x}})}ln5{({sin}^2{x})}prime={(5^{{sin}^2{x}})}ln5*2{sin}{x}*{({cos}{x})}$

И, наконец, упростим выражение, вспомнив формулу синуса двойного аргумента:

${(5^{{sin}^2{x}})}ln5*2{sin}{x}*{{cos}{x}}={(5^{{sin}^2{x}})}ln5*{sin}{2x}$

Таким образом,

${(5^{{sin}^2{x}})}prime={(5^{{sin}^2{x}})}ln5*{sin}{2x}$

Заметим, что функции иногда похожи на матрешку: промежуточный аргумент сам является сложной функции. Но тогда при нахождении производной промежуточного аргумента, нужно вновь применить правило нахождения производной сложной функции.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Сложная функция. Производная сложной функции.

Инна | Отзывов (124)

Отзывов (124)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Ирина

2014-05-29 в 14:40

Помогите решить пожайлуста(x^2+x+1)/(x^2-x+1)

Ответить
- Инна
  
  2014-05-29 в 14:50
  
  Здесь производная дроби: (u/v)’=(u’v-v’u)/(v^2)
  u=x^2+x+1
  v=x^2-x+1
  
  Ответить
Неуч

2014-10-24 в 11:15

Добрый день! Всю голову уже себе сломал. Не могу разобраться с производными. Помогите пожалуйста решить примеры.
1. y=(sqrt(x-4x^3))
2. y=3x^2(1+5x)^2
3. y=cos^2x(3x-1)
Заранее благодарю.

Ответить
- Инна
  
  2014-10-24 в 11:24
  
  1. y=(sqrt(x-4x^3))
  здесь sqrt — внешняя функция, x-4x^3 — внутренняя
  y’=1/(2sqrt(x-4x^3))*(1-12x^2)
  2. y=3x^2(1+5x)^2 — произведение двух функций: u=3x^2; v=(1+5x)^2
  y’=u’v+v’u
  3. y=cos^2x(3x-1) я не поняла что здесь в показателе и что аргумент. Нужно расставить скобки.
  
  Ответить
  - Неуч
    
    2014-10-24 в 11:27
    
    Третий пример написал с ошибкой
    3. y=cos^2x/(3x-1)
    
    Ответить
    - Инна
      
      2014-10-24 в 11:33
      
      Это производная дроби: u=cos^2x; v=(3x-1)
      y’=(u’v-v’u)/v^2
      cos^2x — сложная функция
      здесь ^2 – внешняя функция, cosx – внутренняя
      (cos^2x )’=2cosx*(-sinx)
      
      Ответить
      - Неуч
        
        2014-10-24 в 11:38
        
        Я похоже опять неправильно написал пример.Там значение «x» в первом случае внизу, а не наверху стоит. Спасибо большое за помощь.
        3. y=cos^2*x/(3x-1)
        
        Ответить
Неуч

2014-10-24 в 12:30

С первым и третьим заданием разобрался, а вот второе y=3x^2(1+5x)^2, так и не понял как делать.

Ответить
- Инна
  
  2014-10-24 в 12:34
  
  2. y=3x^2(1+5x)^2 – произведение двух функций: u=3x^2; v=(1+5x)^2
  y’=u’v+v’u
  u’=6x
  v’=2(1+5x)*5 — это тоже сложная функция.
  здесь ^2 – внешняя функция, 1+5x – внутренняя
  
  Ответить
Татьяна

2014-10-28 в 11:42

добрый день, не подскажете решаю примеры заочница правильно ли будет ответ, ln(arcsin5x)=1/arcsin5x*5/1-25x^2

Ответить
- Инна
  
  2014-10-28 в 12:33
  
  правильно
  
  Ответить
Светлана

2014-11-02 в 22:49

помогите пожалуйста найти производные от функций, вроде получается, но не могу преобразовать ничего…

y=(2x^2+ctg3x)/e^2x

y=tg^2 2x*arccos(3x+1)

y=ln^3(3x+4)-5/(корень из 1+e^5x)

Ответить
- Инна
  
  2014-11-03 в 09:57
  
  http://pastenow.ru/ACQ3
  
  Ответить
- Инна
  
  2014-11-03 в 10:04
  
  http://pastenow.ru/ACQ5
  
  Ответить
  - Светлана
    
    2014-11-03 в 11:22
    
    огромное спасибо! нашла свою ошибку
    
    Ответить
  - Светлана
    
    2014-11-03 в 20:55
    
    простите, я немного не верно указала функцию. (ln^3(3x+4))-(5/(корень из 1+e^5x))
    
    там только 5 делится на корень
    
    Ответить
  - Светлана
    
    2014-11-03 в 20:55
    
    простите, я немного не верно указала функцию. (ln^3(3x+4))-(5/(корень из 1+e^5x))
    
    там только 5 делится на корень
    
    Ответить
Ольга

2014-12-26 в 12:19

помогите пожалуйста с решением сложной производной
(arcos^5(x)+корень из (1-X^2))^4

Ответить
- Инна
  
  2014-12-26 в 12:32
  
  ((arcos^5(x)+корень из (1-X^2))^4)’=4((arcos^5(x)+корень из (1-X^2))^3*((-1/√(1-25x^2))*5+(-1/2√(1-x^2))*(-2x))
  
  Ответить
Эльвира

2015-01-15 в 05:08

найти Производную сложной функции
1. (2sin(scrtx))+1
2. y=4^(scrt(x^2-5))

Ответить
- Инна
  
  2015-01-22 в 16:01
  
  //ege-ok.ru/2015/01/22/proizvodnaya-slozhnoy-funktsii-video/
  
  Ответить