Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-01

Главная » СТАТЬИ » ПРОИЗВОДНАЯ » Сложная функция. Производная сложной функции.

01 Фев 2012

ПРОИЗВОДНАЯ

Сложная функция. Производная сложной функции.

В этой статье мы будем говорить о таком важном математическом понятии, как сложная функция, и учиться находить производную сложной функции.

Прежде чем учиться находить производную сложной функции, давайте разберемся с понятием сложной функции, что это такое, "с чем ее едят", и "как правильно ее готовить".

Рассмотрим произвольную функцию, например, такую:

f(x)=x^5

Заметим, что аргумент , стоящий в правой и левой части уравнения функции - это одно и то же число, или выражение.

Вместо переменной мы можем поставить, например, такое выражение: cosx+sinx . И тогда мы получим функцию

$f(cosx+sinx)={(cosx+sinx)}^5$ .

Назовем выражение cosx+sinx промежуточным аргументом, а функцию - внешней функцией. Это не строгие математические понятия, но они помогают уяснить смысл понятия сложной функции.

Строгое определение понятия сложной функции звучит так:

Пусть функция определена на множестве и - множество значений этой функции. Пусть, множество (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим в соответствие каждому из число . Тем самым на множестве будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией, y=f(u) - внешняя функция, u=g(x) - промежуточный аргумент.

Производная сложной функции находится по такому правилу:

{(f(g(x)))}prime={f}prime(g(x))*{g}prime{(x)}

Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:

{(f(Delta))}prime={f}prime(Delta)*{Delta}prime

В этом выражении с помощью Delta обозначена промежуточная функция.

Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно

1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.

2. Определить промежуточный аргумент.

В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:

а. Запишите уравнение функции.

б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.

Например, в функции

$y=5^{{sin}^2{x}}$ последнее действие - возведение в степень.

Найдем производную этой функции. Для этого запишем промежуточный аргумент

${sin}^2{x}$ как Delta

Получим ${(5^{Delta})}prime$

Ищем в таблице производных производную показательной функции:

${(a^x)}prime={a^x}ln{a}$

Получим:

${(5^{Delta})}prime={(5^{Delta})}ln5{Delta}prime={(5^{{sin}^2{x}})}ln5{({sin}^2{x})}prime$ (1)

Теперь наша задача найти производную функции ${sin}^2{x}$

Заметим, что здесь мы опять имеем дело со сложной функцией. В этом выражении последнее действие - возведение в квадрат, а промежуточный аргумент {sin}{x} .

Получаем:

${({sin}^2{x})}prime=2{sin}{x}*{({sin}{x})}prime=$

Смотрим в таблице производных производную синуса:

{({sin}{x})}prime={cos}{x}

Получаем:

2{sin}{x}*{({sin}{x})}prime=2{sin}{x}*{({cos}{x})}

Подставим полученное значение производной в выражение (1):

${(5^{Delta})}prime={(5^{Delta})}ln5{Delta}prime={(5^{{sin}^2{x}})}ln5{({sin}^2{x})}prime={(5^{{sin}^2{x}})}ln5*2{sin}{x}*{({cos}{x})}$

И, наконец, упростим выражение, вспомнив формулу синуса двойного аргумента:

${(5^{{sin}^2{x}})}ln5*2{sin}{x}*{{cos}{x}}={(5^{{sin}^2{x}})}ln5*{sin}{2x}$

Таким образом,

${(5^{{sin}^2{x}})}prime={(5^{{sin}^2{x}})}ln5*{sin}{2x}$

Заметим, что функции иногда похожи на матрешку: промежуточный аргумент сам является сложной функции. Но тогда при нахождении производной промежуточного аргумента, нужно вновь применить правило нахождения производной сложной функции.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Сложная функция. Производная сложной функции.

Инна | Отзывов (124)

Отзывов (124)

Следующие комментарии →

Владислав Челпаченко

2012-02-01 в 18:25

Полезный у Вас сайт! Сейчас пишу научную работу по «Статистике» о ЕГЭ. Думаю Ваш сайт мне очень пригодится

Ответить
Mikel

2013-02-06 в 06:15

Интересный, полезный для определённых категорий учеников подход. Хотел бы, со ссылкой на Вас, Инна, его использовать. Можно?
С Уважением, Михаил

Ответить
- Инна
  
  2013-02-06 в 06:48
  
  Конечно, Михаил! Буду рада )
  
  Ответить
джамиля

2013-03-01 в 18:09

помогите пожалуйста найти производную от функций х в степени х спасибо!!!!!!

Ответить
- Инна
  
  2013-03-02 в 05:51
  
  Пусть у=х^x, возьмем от обеих частей равенства натуральный логарифм: lny=ln(x^x); lny=xlnx;
  Возьмем производную от обоих частей равенства:
  (lny)’=(xlnx)’
  (1/y)*y’=(xlnx)’
  y’=y*(xlnx)’=(xlnx)*(xlnx)’
  Осталось взять производную произведения: (xlnx)’
  
  Ответить
  - Инна
    
    2013-12-12 в 02:21
    
    1. (1/y)*y’=(xlnx)’
    2. y’/y=x’lnx + xln’x
    3. y’=(lnx + x/x)*y
    4. y’= ylnx + y, но мы помним что у=х^x =>
    5. y’= x^x*lnx + x^x или по другому то же выражение
    y’= x^x(lnx + 1)? тогда ещё вопрос, это можно считать общей формулой для производной от сложной ф-ции где и основание и степень являются ф-циями от х? Например основание arcsin5x, а степень tg(x^1/2)?
    
    Ответить
    - Инна
      
      2013-12-12 в 10:41
      
      Думаю, что лучше каждый раз воспроизводить этот процесс — там появятся производные внутренних функций.
      
      Ответить
      - Сергей
        
        2015-06-04 в 19:46
        
        Как такое решается:а) y=ln(x-1);б) y=-sin8x+cos7x
        
        Ответить
      - Инна
        
        2015-06-05 в 05:58
        
        a) y’=1/(x-1)
        б) y’=-8cosx-7sinx
        
        Ответить
Татьяна

2013-06-19 в 17:16

помогите пожалуйста вычислить значение производной сложной функции z=z(x,y)где x=x(t),y=y(t),при t=t нулевое

Само задание z=x в степени y,x=e штрих,y=ln t,t нулевое=1
не знаю как и начать…заранее спасибо.

Ответить
Эльвина

2013-11-16 в 18:36

Помогите пожалуйста найти производную y=5x-ln(x+5)^5

Ответить
- Инна
  
  2013-11-17 в 08:52
  
  y’=(5x-ln(x+5)^5)’=(5x-5ln(x+5))’=5+5/(x+5)
  
  Ответить
  - Марина
    
    2015-11-29 в 14:29
    
    Как найти производную y=5^((sin^4)* 2x^7)
    ^степень
    И у=(сtg arcsin2^(-x^4))/(arccos(корень из х))
    Спасибо большое!
    
    Ответить
кристина

2013-11-25 в 13:28

помогите найти производную (ctg^2x-1/a^2)

Ответить
Альбина

2014-05-23 в 07:39

помогите решить
(ln⁡(cos⁡((x)^6 )))’

Ответить
- Инна
  
  2014-05-23 в 15:45
  
  (ln⁡(cos⁡((x)^6 )))’ =[1/(cos⁡((x)^6 )]*(-sin(x)^6 )*6x^5
  
  Ответить
  - Otabek
    
    2014-12-08 в 12:53
    
    Думаю что это будет (cosx^6/x+lnx[-sinx(x^6+cosx*6x^5)]
    
    Ответить
  - Otabek
    
    2014-12-08 в 13:10
    
    Извините, я думал что квадратик это х
    
    Ответить
    - Otabek
      
      2014-12-08 в 13:12
      
      Спасибо за сайт. Завтра у меня контрольные по алгебре, очень помогло
      
      Ответить