Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-09

Главная » СТАТЬИ » ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение показательных неравенств

09 Фев 2012

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 , 2<x<3 , x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$

Отсюда: x>0 , x<1

Ответ: 0<x<1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (497) | Метки: решение показательных неравенств

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

анжела

2014-10-28 в 11:36

9^x*1/18^x>0.25

Ответить
- анжела
  
  2014-10-28 в 11:40
  
  помогите пожалуйста решить неравенство!
  
  Ответить
- Инна
  
  2014-10-28 в 12:36
  
  9^x*1/18^x=(9/18)^x=(1/2)^x
  0.25=1/4=(1/2)^2
  (1/2)^x>(1/2)^2
  x<2 (меняем знак неравенства, так как основание степени меньше 1)
  
  Ответить
  - анжела
    
    2014-10-28 в 13:33
    
    Спасибо большоооое!!!!
    Очень Вам благодарна!!
    
    Ответить
денис

2014-10-28 в 13:42

1. (1/2)^x<0.5x+5;
2. 2*5^2x-5^x-1(меньше либо равно 0)
3. 3^x*x-3^x+1 +27=9x

Ответить
- Инна
  
  2014-10-28 в 14:43
  
  1. графически
  2. 5^x=t, t>0 решить кв. неравенство относительно при условии, t>0
  3. 3^x*x-3^x+1 +27=9x
  3^x*x-3*3^x +27-9x=0 Сгруппировать и разложить на множители
  (3^x*x-3*3^x) +(27-9x)=0
  3^x(x-3)+9(3-x)=0
  (x-3)(3^x-9)=0 теперь каждую скобку приравнять к нулю
  
  Ответить
Наталия

2014-10-30 в 15:53

Инна, помогите,пожалуйста. Не могу найти решение такого неравенства 2x+2^(-x)>=2
Одна функция возрастает, другая убывает Одна точка пересечения -3,другую не могу определить.( при х=-3 левая часть равна 2) В ответе минус бескон плюс бескон.
Не получается Может , подскажете, что почитать Заранее благодарю

Ответить
- Инна
  
  2014-10-31 в 08:01
  
  Если запишем в виде 2x>=2-2^(-x), то получим такую картинку: http://pastenow.ru/edit/ACIF
  Полагаю что в неравенстве должно быть не 2х, а 2^x
  
  Ответить
  - Наталия
    
    2014-10-31 в 12:56
    
    Инна, добрый день! Это задание из сборника Лаппо Попов Практикум по ЕГЭ и задание именно такое (вариант3)Я переносила
    2x вправо , обе убывающие но все равно две точки пересечения
    смотрю литературу, но пока тщетно
    
    Ответить
    - Инна
      
      2014-10-31 в 14:55
      
      Наталия, там ответ на первое неравенство от минус бесконечности до плюс бесконечности. Очевидно по графику — я присылала графическое решение — что это не так для данного уравнения. Полагаю, там опечатка. Вряд ли такое уравнение в задании 11
      
      Ответить
      - Наталия
        
        2014-11-01 в 13:47
        
        Инна, спасибо тоже думаю , что там опечатка, но такое неприятно
        У меня много «мучений» было по этому поводу, думала, что я чего- то не понимаю.
        
        Ответить
      - Инна
        
        2014-11-01 в 16:50
        
        Думаю, там должно быть 2^x — тогда сумма двух взаимнообратных чисел больше или равна 2 для любых положительных чисел, вот и получается, что решение первого неравенства — любое действ. число.
        
        Ответить
Lia

2014-11-06 в 07:44

Здравствуйте! Помогите пожалуйста, Инна, как решить такое уравнение 3^(2*(x+6))+3^x^2-2*3^(x^2+x+6)=0

Ответить
- Инна
  
  2014-11-06 в 13:47
  
  Запишем уравнение в виде:
  (3^(x+6))^2+3^x^2-2*3^(x^2)*3^(x+6)=0
  Это однородно уравнение, нужно разделить на 3^x^2 и ввести замену 3^(x+6)/3^x=t
  
  Ответить
  - Lia
    
    2014-11-06 в 14:35
    
    получаем (3^(x+6)/3^x)^2+1-2*3(x+6)=0 заменяем 3^(x+6)/3^x=t, это понятно, а что делать с 2*3^(x+6) не соображу, простите. Подскажите пожалуйста, заранее благодарю
    
    Ответить
    - Инна
      
      2014-11-06 в 14:40
      
      Вы неправильно разделили. Получается
      (3^(x+6)/3^x)^2+1-2*3^(x+6)/3^x=0
      
      Ответить
      - Lia
        
        2014-11-06 в 15:23
        
        Понятно. Спасибо вам большое! очень помогли!
        
        Ответить
Наталия

2014-11-07 в 11:37

Инна, здравствуйте! Я согласна, что сумма взаимно обр чисел больше равна 2 (a>0)Это в частном примере. Но вот в следующем варианте предлагается решить неравенство 5x+5^x< =36
Я привела к виду 5^x<=36/5-x Одна ф-я возр, другая убывает Ясно , корень один. Если прологарифмировать обе части по основанию 5, то что делать с х? Какие манипуляции произвести, или я что то не так делаю.Заранее спасибо.

Ответить
- Инна
  
  2014-11-07 в 14:38
  
  Исходное неравенство 5x+5^(x+1)< =36 Наталья, судя по ответу, в этом примере тоже опечатка: должно быть 5^x+5^(x+1)< =36
  
  Ответить
  - Наталия
    
    2014-11-08 в 14:00
    
    Инна, спасибо. Представьте, там еще куча опечатков.Видимо, все наспех «творилось», а детям дают решать.
    
    Ответить
Алиса

2014-11-10 в 15:31

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить неравенство: 2^(2^(2^(x-4)))>8.
Я упростила его до 2^(x-4)>log2 3, правильно ли это и как дальше решать?

Ответить
- Инна
  
  2014-11-10 в 15:52
  
  Да, правильно. Дальше взять от обеих частей логарифм по основанию 2, получится
  x-4>log_2(log_2(3))
  
  Ответить
  - Алиса
    
    2014-11-11 в 08:24
    
    Большое спасибо) Всё поняла))))
    
    Ответить
Дания

2014-11-14 в 16:20

Здравствуйте

Ответить