Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
09 Фев 2012
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

a^{f(x)} V a^{g(x)}, где  V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить  показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция y=a^{f(x)} возрастает при всех действительных значениях x, если a>1.  Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1,  и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из  неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

{(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}

Так как основание степеней 0,3<1, при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

{x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0

Корни числителя:

x_1=3,   x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ:  x<1,  2<x<3,  x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

5^{2x}-6*5^x+5<0

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать  относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню  на этом примере.

Введем замену: t=5^x, t>0

Получим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }

Отсюда: x>0,  x<1

Ответ: 0<x<1

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение показательных неравенств
| Отзывов (497) | Метки:

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Дарья
    в 15:39

    помогите пожалуйста решить неравенства:
    4^(3x^2-x)-8<2*8^((x^2-x)/3)
    и
    8*(3^(x-2)-1)/3^x-2^x<1+(2/3)^x
    заранее спасибо
    Ответить
  2. Александра
    в 11:40

    Помогите пожалуйста решить две системы уравнений.
    {4в степени х ×2 в степени у=32
    {3в степени 8х+1= 3 в степени 3у

    И вторая система
    {3в степени 3х-2у=81
    {3 в степени 6х × 3 в степени у =27.
    Ответить
    • Инна
      в 14:45

      {4в степени х ×2 в степени у=32
      {3в степени 8х+1= 3 в степени 3у

      {2^2x*2*y=2^5
      {3^(8х+1)= 3^( 3у)

      {2^(2x+y)=2^5
      {3^(8х+1)= 3^( 3у)
      приравниваем показатели и переходим к системе:

      {(2x+y)=5
      {(8х+1)= ( 3у)

      Аналогично вторая:
      {3x-2y=4 (81=3^4)
      {6x+y=3 (27=3^3)
      Ответить
  3. Сергей
    в 15:43

    Помогите решить
    2^2-x>2x-3
    Ответить
    • Инна
      в 08:39

      Можно решать графически. Можно так: слева функция убывает, справа возрастает, следовательно графики функций у=2^2-x и у=2x-3 пересекаются в одной точке. находим ее подбором, эта точка х=2. Берем пробную точку, например х=1 — слева от х=2. Получаем 2^(2-1)>2*1-3, следовательно нас устраивает промежуток x<2
      Ответить
  4. Диана
    в 04:35

    помогите решить 9x-2(2x-3)≤3(x+1)
    Ответить
  5. Lina
    в 16:31

    15^x-9*5^x-3^x+9=<0 помогите решить пожалуйста, буду очень благодарна)
    Ответить
    • Инна
      в 16:53

      15^x-9*5^x-3^x+9=<0
      3^x*5^x-9*5^x-3^x+9=<0
      Группируем:
      (3^x*5^x-3^x)+(-9*5^x+9)<=0
      3^x(5^x-1)-9(5^x-1)<=0
      (3^x-9)(5^x-1)<=0
      Дальше методом интервалов
      Ответить
  6. мила
    в 05:14

    Решить с методом замены множителей log по основанию x (x+7) строго меньше единицы помогите пожалуйста.
    Ответить
  7. мила
    в 06:19

    Logx(x+7)<1 решить с помощью замены множителей помогите пожалуйста:(
    Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *