Решение показательных неравенств.
В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:
V 
, где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.
Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.
Как мы помним, показательная функция 
возрастает при всех действительных значениях 
, если 
. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства
следует неравенство 
Аналогично, так как показательная функция убывает, если 
, и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства
следует неравенство 
То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.
Ещё раз, это важно:
если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется
если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.
Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Решим неравенство:
Так как основание степеней 
, при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:
Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:
Корни числителя:
, 
Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:
Ответ: 
, 
, 
2. Решим неравенство:
Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:
Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.
Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.
Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.
Введем замену: 
, 
Получим систему неравенств:
Отсюда:
То есть 
Запишем двойное неравенство в виде системы:
Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:
Отсюда: 
,
Ответ: 
5{2x+1}-26*5{x}+5=0
Помогите пожалуйста
Если что вот это {..} степень
5{2x+1}-26*5{x}+5=0
5*5{2x}-26*5{x}+5=0
t=5{x}
5t^2-26t+5=0
Помогите решить (7/9)^(2x^2-3x)≥(9/7)
9/7=(7/9)^(-1)
Получаем:
(7/9)^(2x^2-3x)≥(7/9)^(-1)
так как 7/9 меньше 1, переходим к неравенству:
2x^2-3x меньше или равно -1
Здравствуйте, помогите решить
3^(x^2-x)<либо равно (5^(x-1))^x
(5^(x-1))^x=5^(x^2-x)
Делим обе части на 5^(x^2-x), получаем (3/5)^(x^2-x) больше либо равно 0 (основание меньше 1, меняем знак неравенства при переходе к сравнению показателей)
Доброго времени суток. Помогите пожалуйста -2/5x+3/5<(3/2)*(4x+1)
Заранее спасибо
помогите решить пожадуйста
3^(х+2)+3^(х-1)<28
3^(х+2)+3^(х-1)<28
3^(х-1)(3^3+1)<28
3^(х-1)(28)<28
3^(х-1)<1
x-1<0
|x-1|*(x^4-2x^2-3)>=0
решаем с помощью метода интервалов:
]
{1}[
)
приравниваем к нулю каждый множитель:
х=1;
x^4-2x^2-3=0 — биквадратное уравнение. t=x^2; t^2-2t-3=0; t=-1; t=3; x^2=3; x=√3; x=-√3
Наносим на числовую ось, расставляем знаки. В точке х=1 знак не меняется.
Ответ: (
10^3x+1^>0,001
10^3x+1^>10^(-3)
3x+1>-3